Educational Codeforces Round 75 (Rated for Div. 2) D

题意

$n$个区间，从每个区间取一个数，要求最后中位数尽可能大

题意

第一反应就是二分
但是我，二分单调性的理解，很差
我就否决了，去想枚举，然后我就没了。

实际上就是二分中位数，对于一个中位数，肯定有一部分在你左边，一部分在你右边。
如果左边部分超过一半了，说明这个中位数过大了。
如果右边部分超过一半了，说明这个中位数过小了。
如果正常情况下，剩下的只剩 $l\leq mid \leq r$的区间了，这个时候就先取最小的左端点使得左边的取满一半，然后使右边取满一半+1，右边的贡献就是中位数大小
如果这个和比 $s$小，说明符合情况，再取更大的中位数。
反之，不符合情况，取更小的中位数。

在保证左右两边都不超过的情况，你如何证明单调性呢？
首先贡献肯定是绝大部分取左端点，少部分取中位数。
大概是这样：
$a \quad \quad l \quad r \quad \quad b$
$a$、 $b$ 保证在左边和右边的部分，首先他们不会超限，并且他们一定取左端点。
$l$、 $r$部分就是包含中位数的部分，左边一部分取左端点，右边取中位数。
所以对原区间排序，前一半一定取左端点。
我们考虑增大中位数，显然如果先决条件成立，随着中位数增大，能够选择的区间会越多，也就是要变成中位数的越多。
$suf$表示后缀左坐标之和
$A=mid*(i-\frac{n}{2})+suf[i+1]$
$B=(mid+x)*(i+y-\frac{n}{2})+suf[i+y]$
比较可以发现，左部分是增大的，右部分是缩小的。
但是右部分减去的左端点，都在左部分变成了 $mid$，而 $mid$肯定是大于等于左端点的。
并且 $mid$还变成了 $mid+x$，所以 $B \geq A$。满足单调性。

总结

这是我遇到的或者说第一次带合法的二分。
准确来说对于不合法情况，显然满足二分，左边多了说明大了，右边多了说明小了。
在合法情况下，也满足二分，因为左边部分一定取左端点，右边部分随着中位数变大，取中位数变多了，虽然说取左坐标的减少了，但那时因为他们都去取中位数了，所以贡献一定变大。

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define sf(x) scanf("%d",&x)
typedef long long ll;
using namespace std;

const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 2e5+100;

struct node{
    int l,r;
    friend bool operator < (node a,node b){
        if(a.l==b.l)return a.r<b.r;
        return a.l<b.l;
    }
}A[maxn];

int n;ll s;

bool check(int x){
    int lt=0,rt=0;
    ll ret=0;
    //cout<<x<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(A[i].r<x)lt++,ret+=A[i].l;
        else if(A[i].l>x)rt++,ret+=A[i].l;
    }
    if(rt>=n/2+1)return true;
    if(lt>=n/2+1)return false;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(A[i].r<x||A[i].l>x)continue;
        if(lt<n/2)ret+=A[i].l,lt++;
        else ret+=x,rt++;
    }
    return ret<=s;
}

int main(){
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%d%lld",&n,&s);
        FOR(i,1,n)scanf("%d%d",&A[i].l,&A[i].r);
        sort(A+1,A+1+n);
        int l=1,r=1e9+1,ans=0;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(check(mid)){
                ans=max(ans,mid);
                l=mid+1;
            }
            else r=mid-1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}