【算法导论-主定理】用主方法求解递归式 学练结合版

问题：若某算法的计算时间表示为递推关系式：T(N)=2T(N/2)+NlogN 且 T(1)=1

则该算法的时间复杂度为( )。
O(Nsqrt(N))
O(NlogN)
O(N(logN)^2)
O(N^2logN)
O(N^2)

解析：

应该是 O(N(logN)^2)
参考网址：主定理和《算法导论》

但是博主说其实你不会主定理也没事儿，只要能找几个特殊值带入，并根据符号O的意义排除选项即可。所以……其实可以投机取巧。（望天）
主定理在《算法导论》的第53页时间复杂度章节有讲到（是的，黑色的很厚的那本）



对于三种情况的每一种，我们将函数f(n)与函数 $n^{log_ba}$进行比较。 直觉上， 两个函数较大者决定了递归式的解。若函数 $n^{log_ba}$更大，如情况1,则解为 $T(n)=Θ(n^{log_ba})$。若函数f(n)更大，如情况3,则解为 $T(n)=Θ(f(n))$。若两个函数大小相当， 如情况2,则乘上一个对数因子，解为 $T(n)= Θ(n^{log_ba}lgn) = Θ(f(n)lgn)。$
注意， 这三种情况并未覆盖f(n)的所有可能性。情况1和情况2之间有一定间隙，f(n)可能小于 $n^{log_ba}$但不是多项式意义上的小于。 类似地，情况2和情况3之间也有一定间隙 ，f(n)可能大于 $n^{log_ba}$．但不是多项式意义上的大于。如果函数f(n)落在这两个间隙中，或者情况3中要求的正则条件不成立，就不能使用主方法来求解递归式。
在第一种情况中，不是 f(n)小于 $n^{log_ba}$就够了，
而是要多项式意义上的小于。 也就是说，f(n)必须渐近小于 $n^{log_ba}$，要相差一个因子 $n^ϵ$，其中ϵ是大于0的常数。 在第三种情况中，不是f(n)大于 $n^{log_ba}$就够了，而是要多项式意义上的大于，而且还要满足“正则”条件 $af(n/b)\leq cf(n)$。我们将会遇到的多项式界的函数中， 多数都满足此条件。
假设我们有递推关系式：

根据这个题， $T(N)=2T(N/2)+NlogN 且 T(1)=1，$可知 $a=2，b=2，f(n)=NlogN，$所以将函数 $f(n)=NlogN$与函数 $N^{log_22}logN=NlogN$进行比较，他们复杂度相近，是情况2。从而根据公式：
$f(n)=Θ(n^{log_ba}log_kn) ，则T(n)=Θ(n^{log_ba}log^{k+1}n)。$
有：
$\Gamma(n) = n^{log_22}*(log^2n)\,= n(logn)^2$

类题试解：

1.二叉树的遍历： $T(n)=2T(\frac{n}{2})+Θ(1)$

可知 $a=2，b=2，f(n)=1$, $n^{log_22}=n$比 $f(n)=Θ(1)$大，是情况1，则根据公式，解为 $T(n)=Θ(n^{log_22})=Θ(n)$

2.二分搜索（折半搜索） $T(n)=T(\frac{n}{2})+Θ(1)$

可知a=1，b=2，f(n)=Θ(1),
$n^{log_21}=n^0=1$，故f(n)和O(1)复杂度相近，是情况2，
根据公式， $T(n)=lgn$

3.最大子数组问题和归并排序的分治算法的运行时间: $T(n)=2T(\frac{n}{2})+Θ(n)$

可知a=2，b=2， $f(n)=Θ(n)$
$n^{log_22}=n$和 $f(n)=Θ(n)$相近，是情况2，
根据公式， $T(n)= Θ(n^{log_ba}lgn) = Θ(f(n)lgn)。$
可得 $T(n)= Θ(n^{log_22}lgn) = Θ(nlog_2n)。$

4.递归式 $T(n) = 3T(n/4) +nlgn$

我们有 $a=3,b=4, f(n)=nlgn$,而 $n^{log_43}=O(n^{0.793})$
由于 $f(n)=\Omega(n^{log_43+ϵ})=\Omega(n^{0.793+ϵ})$，其中 $ϵ\approx1-0.793=0.2$， $f(n)=nlgn>n^{log_43}$满足情况3。且对常数c=0.75和所有足够大的n有 $3(n/4)lg(n/4)\leq 0.75nlgn=cf(n)$
故解为 $T(n)= Θ(nlgn)$

5.矩阵乘法问题第一个分治算法 $T(n)=8T(\frac{n}{2})+Θ(n^2)$

有 $a=8,b=2,f(n)=n^2$, $n^{log_28}=n^3$可以看出 $f(n)=n^2<n^3$，应该是情况1，其中 $ϵ=1$
故 $T(n)= Θ(n^3)$

6.Strassen算法的运行时间 $T(n) = 7T(n/2) +Θ(n^2)$

有a=7，b=2， $n^{log_27}\approx n^{2.805}>n^2,故f(n)<n^{2.805}$，应用情况1公式：
故 $T(n)= Θ(n^{log_27})$
改写底为 $lg7$

$log_27=\frac{lg7}{lg2}=\frac{0.84}{0.3}=2.807$
算法导论中的lg以2为底
故 $T(n)= Θ(n^{lg7})=Θ(n^{2.807})$

不能使用主定理的情况： $T(n) = 2T(n/2) +Θ(nlgn)$

其中 $a=2，b=2，f(n)=nlgn$
而 $log_22=n$ 而 $f(n)=nlgn$渐进大于n，而不是多项式大于n
（多项式意义上的大于，顾名思义，就是两个函数的商大于一个多项式。严格表述为如下形式：当我们说f(x)多项式意义上大于g(x)时，我们是指：存在实数e>0，使得f(x)>g(x)*n^e。）

因此， 递归式落入了情况2和情况3之间的间隙，不可以使用主定理。
不过可以利用公式：
$f(n)=Θ(n^{log_ba}log_kn) ，则T(n)=Θ(n^{log_ba}log^{k+1}n)。$
根据算法导论P73的上下界取整：

可知 $O(Nlog^2_2N)$是T(n)的上界（ $O(N^3)$也是上界，但是不是紧确界)