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基本介绍

​ 基于球谐函数分解的声场分析目前得到了广泛应用，但是该种方法需要麦克风阵型为球阵列或者其它的三维阵列结构。这往往限制了该种方法的推广使用。论文[1]提出了使用二维平面阵列去采集三维空间声场，主要使用了全指向型麦克风和差分麦克风两种类型的麦克风阵列。全指向型麦克风阵列用于采集“奇模”声场系数，差分麦克风用于采集“偶模”声场系数。然后进行混合，得到完整的声场系数。

​ 在声场中，任意一点的声压可以表示为

$$\mathbf P(r,\theta,\phi,k)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}C_{nm}(k)j_{n}(kr)Y_{nm}(\theta,\phi)$$
其中 $C_{nm}(k)$表示声场系数， $k=\frac{2\pi\mathbf f}{c}$表示波数，其中 $f$表示频率， $c$是声速。 $j_{n}(kr)$是 $n$阶第一类球贝塞尔函数， $Y_{nm}(\theta,\phi)$表示球谐函数，其具体定义为(正交化形式)
$$Y_{nm}(\theta,\phi) = \sqrt{\frac{(2n+1)}{4\pi}\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!}}P_{n|m|}(cos\theta)\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{jm\phi}$$
据此规定，当 $n+|m|$为奇数时，定义为奇模，当 $n+|m|$为偶数时，定义为偶模。根据勒让德函数的性质，当 $n+|m|$为奇数时，
$$P(r,\frac{\pi}{2},\phi,k)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}C_{nm}(k)j_{n}(kr)P_{nm}(0)\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{jm\phi}$$
其中为0，因而为0 .因此使用全指向型麦克风阵列采集不到三维空间声场的全部系数，只能采集到“偶模”系数。这需要引入另一种阵列形式–差分麦克风阵列，用来采集奇模系数。

​ 沿着$\theta=\frac{\pi}{2}$方向，差分麦克风对的输出(沿着$\theta=\frac{\pi}{2}$的声压梯度)为$P_{\theta}(r,\theta,\phi,k)$,其具体的表现形式为

$$P_{\theta}(r,\theta.\phi,k)=-sin\theta\sum_{n,m}C_{nm}(k)j_{n}(kr)P^{'}_{n|m|}(cos\pi/2)E_{m}(\phi)$$
其中 $P_{n|m|}^{'}(u)=\frac{dP_{n|m|}(u)}{d(u)}$表示正交联合勒让德函数的一阶微分。而当 $n+|m|$的值是奇数时， $P^{'}_{n|m|}(cos\frac{\pi}{2})$

的值是非零值，当$n+|m|$的值是偶数时，$P^{'}_{n|m|}(cos\frac{\pi}{2})$的值是零。因而这样就可以实现“奇模”系数的测量。

阵列实现

​ 使用两个全指向型的麦克风形成麦克风对来实现差分麦克风阵列，在如图(论文[1]中的Figure1)的配置中，每个麦克风对可以有两种用途，对两个麦克风采集到的信号差分形成双向拾取模式，这样做的目的是为了得到奇模系数，与此同时，麦克风对中的任意一个麦克风可以用来求取偶模系数，另外需要注意的是麦克风对中的麦克风距离应该小于阵列半径，这样是为了更好的近似求取$P_{\theta}(r,\theta.\phi.k)$，麦克风的数量是由阵列半径和目标波数共同决定。具体约束关系可以查看论文[1].

参考文献

1. Performance analysis of a planar microphone array for three dimensional soundfield analysis

2. Theory and design of compact hybird microphone arrays on two-dimensional planes for three-dimensional soundfield analysis

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