1、数学与文化-是与非的观念
数学学科并不是一系列技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面，就如同调配颜色远不能当做绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。
数学是一种公理思想的方法，这种方法包括明确地表达出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公设。是具有极其严密逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发，推导出结论。
数学是一门需要创造性的学科，数学家充分地利用了直觉和想象，如牛顿、开普勒，他们不仅打破了长期僵化的传统，而且简历了新的、革命性的概念。
数学在工程时代，是一种普适性的工具，解决了因社会需要而直接提出的问题，如建筑、商业、金融、武器等。
数学的另一个基本作用，就是提供了自然现象的合理结构，数学的概念、方法和结论是物理学的基础。
古希腊人把数学变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。数学学科中的伟大成就-映射几何、数论、无穷量理论和非欧几何，都是为了解决纯智力挑战。
进行数学创造的另一个主要驱动力是对美的追求，在绘画、雕塑、音乐中不断的创造完善结构美。
数学的另一个重要特征是它的符号语言，简洁、精确的符号使数学家进行复杂的思考应付自如。
一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神激发、促进、鼓舞着人类的思维得以运用到最完美的程度；这种精神试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；努力探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
2、数学中的经验法则
原始人类社会，由于生活必须品物物交换的需要必须进行计算，因此需要使用自己的所有手指、脚趾核算所数东西。
原始文明也发明了算术的四则基本运算：加、减、乘、除。
近东（环地中海东部的国家，包括土耳其、北非）是西方文化的发祥地，也是人类文明的摇篮。近东文明中，主要的是埃及和巴比伦，这些文明的早期记载，发现了高度发达的计数系统、代数学和非常简单的几何学。
位制非常重要，印度人发明的以10为基底的10进制，直到中世纪才传入欧洲，采用10进制以10为基准足以表示无论多大的数。10进制使我们近代有效的计算方法的发展成为可能。早期巴比伦人引入了以60为基底的位制，后来希腊、欧洲一直到16世纪都将这套系统应用于所有的数学计算和天文计算中，这套系统至今仍被用于角度、时钟。
如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。由于尼罗河一年一度的河水需要将土地重新分配、以及缴粮纳税的计算需要，从丈量术发展出了几何学。
埃及人和巴比伦的几何学是经验法则，或者说是实际技艺。
埃及人和巴比伦人将数学大量应用于商业、农业、建筑等实际生活中。且在巴比伦和埃及，数学与绘画、建筑、宗教以及对自然的探索之间的联系，在密切性与重要性上也丝毫不逊色。
天文学和数学的研究揭示了天体运动与气候、节气的规律，数学和科学知识在当时是某种权利，声名狼藉的占星术与数学纠缠在一起，占星术在古代宗教、祭司统治中占有非常重要的作用，
人类的艺术兴趣与其宗教感情之间的抵触，导致了数学知识的发现和利用。建筑师大量利用几何学去设计、建造漂亮的建筑、庙宇、宫殿，画家们利用几何学构造了大量精美的艺术品。
4、欧几里得《几何原本》
在一个相对短暂的时期，泰勒斯、毕达哥拉斯、欧多克索斯、欧几里得和阿波罗尼奥斯等创建了一门内容丰富、令人惊叹不已的第一流学科-数学，传遍了地中海地区的每个角落。毕达哥拉斯学派最有影响，它决定了希腊数学的本质和内容，他们第一次抽象地处理数学概念。比毕达哥拉斯更广为人知的是柏拉图学院，该学院的学生以亚里士多德最为著名，在柏拉图的影响下，他们偏重纯数学。
整个地中海地区的许多学派和个人工作，都被欧几里得总结在一本《几何原本》中，欧几里得演绎出了所有古典时期希腊大师们已经掌握的最重要的结论，近500条定理，欧几里得为几何学寻求了一套足够的、而且能被普遍接受的公理系统，表述了点线面和其他几何图形的性质，而且这些性质为其相对应的实物所具有。
西方人从欧几里得的《几何原本》中学会了怎样进行完美的推理，怎样获得在几何学方面的技巧，以及怎样区别精确的推理与不严格的推理。
5、天体测量
公元前325年，亚历山大大帝征服了希腊和近东，建立了亚历山大里亚城，将希腊文化带给了他所征服的臣民，一种新的文明诞生。亚历山大帝去世后托勒密一世将军统治了埃及，建立了缪斯神殿-博物馆，这座博物馆聚集了亚历山大里亚时代的诗人、哲学家、语言学家、天文学家、地理学家、物理学家、艺术家和最著名的数学家。
亚历山大里亚人的世界，数学占有最为重要的地位，亚历山大里亚的伟大数学家，埃拉托塞尼、阿基米德、西帕霍斯、托勒玫、海伦、门纳劳斯、丢潘图、帕波斯，尽管他们几乎毫无例外地显示了希腊人在抽象理论方面的天才，但他们都乐意将其天才应用在实际问题上。亚历山大里亚人发明了非常惊人灵巧的机械装置，并运用了间接测量的方法，可以测量地球的半径，太阳、月亮的直径，以及月亮、太阳、行星和恒星的距离。能够测量这些不能直接观测其长度的物理量，而且能够使这些量达到所需的任何精度。
三角形学是受到实用和智力兴趣双重推动而产生的数学分支的光辉典范：
1、受测绘、地图绘制和航海的推动；
2、受探索宇宙的好奇心驱动。
借助三角学，亚历山大里亚的数学家可以用点线描述整个宇宙。
6、自然获得了理性
希腊人充满热情地去探索、最求大自然理性的解释：自然界具有理性的秩序；所有的自然秩序都遵循着精确、不变的法则。
在使自然界理性化的工程中，毕达哥拉斯学派发挥着重要作用，揭示物质世界的各种各样的现象，都显示出相同的数学特征。他们在数、数量关系中发现了各种现象的本质，他们还将行星运动简化为数量的关系。毕达哥拉斯学派的核心理论，即自然界能够用数和数的关系进行解释，数是实在的本质，这些观念支配着近代科学：宇宙的完美秩序是由数学定律确定的，神圣的理性是自然的组织者，人类利用理性探索自然界为的是揭示神所赋予的宇宙图形。
亚历山大里亚时期的希腊人对自然界的数学设计给了极好的证明，这项工作的核心是西帕霍斯，他向世人说明了如何利用间接测量法计算天体的大小和他们之间的距离。
希腊天文学理论的发展在克莱迪斯-托勒玫的工作中达到了登峰造极的程度，托勒玫的《大汇编》确立了希腊三角学学说，它延续了1000多年。在天文学方面，它对本轮、均转等作了详细完整的阐述，这个理论是希腊人对柏拉图将天体现象理性化问题的最后答案，同时它也是第一次真正伟大的科学综合。
随着西帕霍斯的工作臻于完善，世界视乎是合理性的，决定其运动的原理是数学性的，这种天体学理论在文艺复兴时期得到哥白尼和开普勒的改进，并由牛顿重建和完善，它为现代科学最重要的理念-自然界的一致性和不变性提供了决定性的证明。
罗马人入侵整个地中海地区后，凯撒用火攻摧毁了亚历山大里亚博物馆，两个半世纪收藏起来代表古代文化光辉灿烂的藏书以及50万册手稿被付之一炬，罗马人给当地文化带来了无比严重的摧残和破坏。罗马人是讲求实用的民族，他们在数学、科学、哲学和艺术等众多领域成就甚微。罗马人四处掠夺，数百万人沦为奴隶，在悲惨命运的人间，出现了强调道德伦理、有爱之情和死后升天的基督教，而且很快被人们接受。不幸的是所有希腊知识都被等同于“异教徒”异端邪说，受到严重攻击。
希腊文化在欧洲得以传承，欧洲人不仅学习了希腊一些最好的成果，而且最主要的是向希腊人学习人类的推理能力，欧洲人还继承了自然界具有数学设计的思想，相信理性可以应用于人类的所有活动，一旦人们掌握了理性精神，西方文明就诞生了。
