前言
昨天在刷李永乐老师视频的时候看到了一个“三姬分金”的问题，然后引到了博弈论。说实话，从这个老师的课程中深深的感受到了知识的魅力。就想着写一个专栏，学习一下博弈论的有关知识。
什么是博弈
通俗地讲， 博弈就是指游戏中的一种选择策略的研究。 博弈的英文为“game”， 我们一般将它翻译成“游戏”。 而在英语中， “game”的意义不同于汉语中的游戏， 它是人们遵循一定规则的活动， 进行活动的人的目的是让自己“赢”。 我们在和对手竞赛或游戏的时候怎样使自己赢呢？ 这不但要考虑自己的策略， 还要考虑其他人的选择。 生活中博弈的案例很多， 只要涉及人群的互动以及选择决策， 就有博弈。
一个人做选择时必须考虑其他人的选择或是事务的变化， 而其他人做选择时也会考虑此人的选择。 此人的结果——博弈论称之为支付， 不仅取决于他的行动选择——博弈论称之为策略选择， 同时取决于其他人的策略选择。 这样， 此人和其他人或事务就构成一个博弈。
三姬分金问题
背景
当年，韩非子到一个大将军处索要军饷，看见大将军的三个妃子在玩分金币的游戏。于是韩非子提议，玩点更刺激的。
游戏规则
现有A、B、C三名美姬，分100枚金币。从A开始，每个人依次提议分配方案。如果提议赞同人数不超过50%，则提议人被处死。反之则提议通过。A、B、C的顺序通过抽签来决定。
此外，有两点前提：
1.每个人都是聪明的，即她知道每个提议带来的后果，并追求自己利益的最大化。
2.每个人都是邪恶的，在她追求自己利益最大化的同时，要尽量多的杀死其余美姬。
思维实验0
如果游戏按照规则进行，那么结果会是怎样？
（1）我们不妨先假设A的提议被B、C否决：
美姬A被处死，到美姬B提议，根据规则"赞同人数不超过50%则提议人被处死"，故无论美姬B提议什么，美姬C都不会同意（即使B提议金币全给C也是如此）。美姬B这么聪明当然也考虑到了这个问题。
（2）美姬A提议必然通过：
由（1）中分析，美姬A的提议必然会被B同意（B不同意就死），所以A可以肆无忌惮的提议分配方案，故A提出了（100,0,0）的分配方案，实现了自己利益最大化。
在思维实验0中，美姬A具有先手优势。
思维实验1
假设在美姬A前面加一个美姬X，其他规则不变，结果会如何？
（1）不妨先假设美姬X的提议被否决：
美姬X被处死，到美姬A提议，参考思维实验0可知，美姬A还是提出（100,0,0）的提议，且必定被通过。
（2）美姬X提出方案对B，C有利则会被通过：
美姬X考虑到如果由美姬A提议，则B,C什么都得不到。故美姬X决定拉拢美姬B,C。她提出了（98,0，1,1）的分配方案。美姬A肯定不同意（但是没有用），美姬B,C一看还能得到1枚金币，于是通过了美姬X的提议方案。
在思维实验1中，美姬X具有先手优势，即领导群体，美姬B、C属于基层群体，是领导群体拉拢的对象。在有限次的实验中，拿到先手权意味着锁定胜局。而且只要条件规则稳定，结果是一定的，这样的局面叫做纳什均衡
思维实验2
共谋
在思维实验1的背景下，美姬A,B,C觉得不公平，还想实现利益最大化。于是A提议：否定美姬X的提议，A,B,C各分33枚金币，剩下一枚丢进海里。这个过程叫做"共谋"。
那么在实验的过程中，如何保证在杀掉美姬X之后，美姬A信守承诺均分金币呢？
A,B,C之间需要制定一个契约，规定B,C帮助A杀掉X之后，A能信守承诺均分金币。此外，为了防止A撕毁契约，还需要执行和守护契约的团体，通过分权的方式使其不能串通。执行和守护契约的团体的建立权在B,C手中，即实现了"民主"。
囚徒困境问题
问题简介
囚徒困境是博弈论的非零和博弈中具代表性的例子，反映个人最佳选择并非团体最佳选择。虽然困境本身只属模型性质，但现实中的价格竞争、环境保护等方面，也会频繁出现类似情况。
问题描述
1950年，由就职于兰德公司的梅里尔·弗拉德（Merrill Flood）和梅尔文·德雷希尔（Melvin Dresher）拟定出相关困境的理论，后来由顾问阿尔伯特·塔克（Albert Tucker）以囚徒方式阐述，并命名为“囚徒困境”。经典的囚徒困境如下：
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人入罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择：
若一人认罪并作证检举对方（相关术语称“背叛”对方），而对方保持沉默，此人将即时获释，沉默者将判监10年。
若二人都保持沉默（相关术语称互相“合作”），则二人同样判监一年。
若二人都互相检举（互相“背叛”），则二人同样判监8年。
表格描述
| 囚徒行为 | 甲沉默（合作） | 甲认罪（背叛） |
|---|---|---|
| 乙沉默（合作） | 二人同服刑1年 | 甲当即释放，乙服刑10年 |
| 乙认罪（背叛） | 乙当即释放，甲服刑10年 | 二人同服刑8年 |
如同博弈论的其他例证，囚徒困境假定每个参与者（即“囚徒”）都是利己的，即都寻求最大自身利益，而不关心另一参与者的利益。参与者某一策略所得利益，如果在任何情况下都比其他策略要低的话，此策略称为“严格劣势策略”，理性的参与者绝不会选择。另外，没有任何其他力量干预个人决策，参与者可完全按照自己意愿选择策略。
思维实验0
（1）从个体来看，囚徒的选择如下：
- 如果对方选择沉默，背叛可以使我获释
- 如果对方选择背叛，背叛可以使我的刑期减少
即从个体角度出发，背叛无疑是最优选择。 这场博弈中唯一可能达到的纳什均衡，就是双方参与者都背叛对方，结果二人同样服刑8年。
（2）从团体角度来看，如果两个参与者都合作保持沉默，两人都只会被判刑一年，总体利益更高，结果也比两人背叛对方、判刑8年的情况较佳。但根据以上假设，二人均为理性的个人，且只追求自己个人利益。均衡状况会是两个囚徒都选择背叛，结果二人判决均比合作为高，总体利益较合作为低。这就是“困境”所在。例子漂亮地证明了：非零和博弈中，帕累托最优和纳什均衡是相冲突的。
思维实验1
当囚徒困境多次重复发生
单次发生的囚徒困境，和多次重复的囚徒困境结果不会一样。在重复的囚徒困境中，博弈被反复地进行。因而每个参与者都有机会去“惩罚”另一个参与者前一回合的不合作行为。这时，合作可能会作为均衡的结果出现。欺骗的动机这时可能被受到惩罚的威胁所克服，从而可能导向一个较好的、合作的结果。作为反复接近无限的数量，纳什均衡趋向于帕累托最优。
总结
囚徒困境主旨
囚徒困境的主旨为，囚徒们虽然彼此合作，坚决不坦白，可为全体带来最佳利益（累计和最少刑期），但在资讯不明的情况下，因为出卖同伙可为自己带来利益（缩短刑期）。同伙坦白可为他带来利益，因此彼此出卖虽违反最佳共同利益，反而是自己最大利益所在。但实际上，执法机构不可能设立如此情境来诱使所有囚徒招供，因为囚徒们必须考虑刑期以外之因素（出卖同伙会受到报复等），而无法完全以执法者所设立之利益（刑期）作考量。
囚徒困境的应用
许多行业的价格竞争都是典型的囚徒困境现象，每家企业都以对方为敌手，只关心自己的利益。在价格博弈中，只要以对方为敌手，那么不管对方的决策怎样，自己总是以为采取低价策略会占便宜，这就促使双方都采取低价策略。如可口可乐公司和百事可乐公司之间的竞争、各大航空公司之间的价格竞争等等。
在国内的家电大战中，虽然不是两个对手之间的博弈，但由于在众多对手当中每一方的市场份额都很大，每一个主体人的行为后果受对手行为的影响都很大，因此，其情景大概也是如此。如果清楚这种前景，双方勾结或合作起来，都制定比较高的价格，那么双方都可以因为避免价格大战而获得较高的利润。但是往往这些联盟处于利益驱动的“囚徒困境”，双赢也就成泡影。五花八门的价格联盟总是非常短命，道理就在这里。
