96.不同的二叉搜索树

题目

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees

代码及分析

二叉搜索树，又被称为是二叉查找树、二叉排序树，这种树其左子树所有节点的值均小于根节点的值，其右子树所有节点的值均大于根节点的值，并且其左、右子树均为二叉搜索树。

空树也是二叉搜索树。

方法一：动态规划法

这道题可以用动态规划的思想去解决。由于给定的节点值为1~n，是一组从小到大顺序排列的数据，其中，任意一个值均可以作为根节点出现，记为 i，i的取值范围为1 ~ n。当以 i 为根节点时，为了满足搜索树的性质，其左子树必定有1 ~ i-1 构成，右子树必定由 i+1 ~ n 构成。
建立动态转移数组dp， dp[n] 表示由 1 ~ n构成的二叉搜索树的个数；记 f( i ) 为由 i 作为根节点时，其对应的二叉搜索树的个数，则有f(i) = dp[i-1] * dp [n-i]。
显然有：
$dp[n] = \sum\limits_{i=1}^nf(i) = \sum\limits_{i=1}^n(dp[i-1] * dp [n-i])$

 int numTrees(int n) {
        if(n < 0)
            return 0;
        vector<int> dp(n+1,0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= i; j++)  // 以j为根
            {
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            } 
        }
        return dp[n];
    }

复杂度：

时间复杂度： O(n^2) ( $\sum\limits_{i=2}^n（\frac{（n+2）(n-1)}{2}）$ )。
空间复杂度： O(n) 。

方法二：卡塔兰数n阶递推关系求解

上述问题其实相当于是卡塔兰数。
卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。
令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系，与上面我们推导出的动态转移方程一致。
卡塔兰数的一般公式为 $h(n)=\ \frac{C_{2n}^{n}}{(n+1)}$

int numTrees(int n) {
        if(n < 0)
            return 0;
        long res = 1;
        for(int i = n + 1; i <= 2 * n; i++)
        {
            res = res * i / (i - n);
        }
        return res / (n + 1);
    }

复杂度：

时间复杂度： O(n) ；
空间复杂度： O(1) 。

方法三：卡塔兰数1阶递推关系求解

卡塔兰数的n阶递推关系，还可以化简为1阶递推关系:
$h(n)= \frac{(4n+2)}{(n+2)}h(n-1) \quad (n>1) \quad h(0)=1$

int numTrees(int n) {
        if(n < 0)
            return 0;
        long res = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            res = res * 2 * (2 * i + 1) / (i+2);
        }
        return res;
    }

复杂度：

时间复杂度： O(n) ；
空间复杂度： O(1) 。