分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题,划分成一些规模较小的子问题,以便各个击破,分而治之。更一般地说,将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题,如此分解下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止,再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原问题的解。
启发式规则:
1、平衡子问题:最好使子问题的规模大致相同。也就是将一个问题划分成大小相等的k个子问题(通常k=2),这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(Balancing)子问题的思想,它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
2、独立子问题:各子问题之间相互独立,这涉及到分治法的效率,如果各子问题不是独立的,则分治法需要重复地解公共的子问题。
分治法的求解过程
- 划分:既然是分治,当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题,并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
- 求解子问题:各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的,可以用递归的方法求解各个子问题,有时递归处理也可以用循环来实现。
- 合并:把各个子问题的解合并起来,合并的代价因情况不同有很大差异,分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。
不是所有的分治法都比简单的蛮力法更有效。
递归
递归有两个基本要素:
⑴ 边界条件:确定递归到何时终止;
⑵ 递归模式:大问题是如何分解为小问题的。
最大子段和问题
给定由n个整数组成的序列(a1, a2, …, an),最大子段和问题求该序列的最大值,当序列中所有整数均为负整数时,其最大子段和为0。例如,序列(-20, 11, -4, 13, -5, -2)的最大子段和为: 20
int MaxSum(int a[ ], int left, int right)
{
sum=0;
if (left= =right)
{
if (a[left]>0) sum=a[left];
else sum=0;
}
else
{
center=(left+right)/2;
leftsum=MaxSum(a, left, center);
rightsum=MaxSum(a, center+1, right);
s1=0;
lefts=0;
for (i=center; i>=left; i--)
{
lefts+=a[i];
if (lefts>s1) s1=lefts;
}
s2=0;
rights=0;
for (j=center+1; j<=right; j++)
{
rights+=a[j];
if (rights>s2) s2=rights;
}
sum=s1+s2;
if (sum<leftsum) sum=leftsum;
if (sum<rightsum) sum=rightsum;
}
return sum;
}
算法的时间复杂性为O(nlog2n)