算法设计与分析—递归与分治（持续更新中…虽然也没什么人看吧，hhh）
分治概念：将一个大规模问题分解为若干个小规模问题，以便逐个击破，即分而治之！
递归概念：直接或间接调用自身的算法成为递归。
二者的相关性十分强，这也是为什么教材把这两个算法归在一章里的原因。
问题一，输出全排列（不按照大小输出，要求使用递归不使用回溯）
input：
输入一个正整数（不要太大，递归层数稍微一多就超时！！！）
output：
输出1----n的全排列
input_case:
3
output_case:
123
132
213
231
321
312
思路：
递归一定要找好递归边界与递归关系！！！
设置函数P（int *a，int k，int n）；
k从0开始计数，k到达问题边界就输出一下；
k没到边界开始，分别以每一个元素作为前缀进行递归输出！
code：
//输出全排列（递归实现）---非顺序输出
#include<stdio.h>
using namespace std;
template<class T>
inline void swap(T &t1,T &t2){
T temp=t1;
t1=t2;
t2=temp;
return ;
}
void P(int *a,int k,int n)
{
if(k==n){
for(int i=0;i<n;i++){
printf("%d",a[i]);
}
printf("\n");
return ;
}else{
for(int i=k;i<n;i++){
swap(a[k],a[i]);
P(a,k+1,n);
swap(a[k],a[i]);
}
}
return ;
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
int a[n];
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i-1]=i;
}
P(a,0,n);
return 0;
}
问题二，汉诺塔问题
问题描述：
有a，b，c三个塔，a上有n个盘子，从小到大依次罗列，将这n个盘子从a移到c上，
注意：大盘不能压小盘；
一次只能移一盘；
input：
输入一个正整数，代表问题规模，不要太大！
output：
输出问题的移动过程：(以这种方式输出即可)
%c->%c\n
最后输出一共移动了多少次：（正整数）
Input_case:
3
output_case:
A->C
A->B
C->B
A->C
B->A
B->C
A->C
cnt=7
思路：
对于大规模问题无法直接求解，将其分为小规模问题（分治思想）！
code:
#include<stdio.h>
void hanoi(int n,char x,char y,char z);
int cnt=0;
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
hanoi(n,'A','B','C');
printf("cnt=%d",cnt);
return 0;
}
void hanoi(int n,char x,char y,char z){
if(n==1){
//递归边界
printf("%c->%c\n",x,z);cnt++;
}else{
//如果不是边界就一直递归调用
hanoi(n-1,x,z,y);//将x借助z移到y
printf("%c->%c\n",x,z);//输出路径
cnt++;
hanoi(n-1,y,x,z);//将x借助y移到z
}
}
问题三，二分查找
问题描述：
对于已经从小到大排好序的数组a[0…n-1];
找出其中值为x的下标；
如果没有找到输出NULL；
input：
输入正整数n；
接下来输入n个正整数（从小到大）；
在输入所要查找的值x；
output：
输出x对应在数组的下标；
如果没有x输出NULL；
input_case:
5
1 3 4 6 8
6
output_case：
3
code：
#include<stdio.h>
int search(int *a,int low,int high,int x){
int mid=(low+high)/2;
if(low==high&&a[mid]!=x)return -1;//没有找到
if(a[mid]==x){
//找到了输出mid
return mid;
}else if(a[mid]>x){
//从左侧找
return search(a,low,mid,x);
}else{
//从右侧找
return search(a,mid+1,high,x);
}
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
int a[n];
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
int x;
scanf("%d",&x);
int ans=search(a,0,n-1,x);
if(ans>=0){
printf("%d",ans);
}else{
printf("NULL");
}
return 0;
}
时间复杂度：O（logn）；
问题四，大整数相乘问题（分析）
问题描述：
两个非常大的正整数（以二进制形式给出）如何降低时间复杂度？
分析：
时间复杂度:从O（n^2)------>O（n ^1.59）
问题五，Strassen矩阵乘法（分析）
问题描述：
对于nXn的方阵A乘以nXn的方针B形成nXn的方针C；
需要O（n^3）的时间复杂度
如何降阶呢？
分析：
将nXn的矩阵分成4个（n/2）X（n/2）的矩阵，这样时间复杂度为：
时间复杂度：O（n^3）-------->O(n ^2.81)