【算法】【回溯篇】第7节：0-1背包问题

本期任务：介绍算法中关于回溯思想的几个经典问题

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【算法】【回溯篇】第7节：0-1背包问题

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一、问题描述

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi>0，其价值为vi>0，背包的容量为c。
问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ （要求使用回溯法）

输入：
n, c = 4, 7
w = [3, 5, 2, 1]
v = [9, 10, 7, 4]

输出：
20
[0, 2, 3]
    

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二、算法思路

• 0-1背包问题是典型的“多阶段决策最优解”问题：每个物品决策一次（拿或者不拿），共决策n次（n为物品数量）；最优解是背包容量限制下的最大价值。

• 本题使用回溯算法暴力穷举所有可能的排列方式，并通过剪枝策略进行优化。

• 暴力穷举，每个物品都可能有2种（拿或者不拿），所有可能方式共有 $2^n$，穷举过程遵循深度优先搜索规则。

• 维护一个长度为n的数组res，用于保存每个物品的是否取。

• 剪枝策略：背包容量无法容纳当前物品时，剪枝跳过。

• 结算情形：所有物品遍历完成时。

示例对应的递归树如下，其中 $f(0,7,0)$代表装入编号为0的物品前，背包容量为7，当前总价值为0：

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三、Python代码实现

class Package01():
    def __init__(self, n, w, v):
        self.n = n  # 物品数量
        self.w = w  # 物品重量
        self.v = v  # 物品价值
        self.max_v = 0  # 记录最大价值

        self.cur_ls = [False] * n  # 记录当前物品清单
        self.res = []  # 记录最大价值对应的物品清单

    def package01(self, cur_c, cur_v=0, index=0):
        if index == self.n:  # 当遍历完所有物品进行结算！！！
            if self.max_v < cur_v:
                self.max_v = cur_v
                self.res = list(self.cur_ls)
            return
        if cur_c >= self.w[index]:  # 背包装的下当前物品时
            self.cur_ls[index] = True
            self.package01(cur_c - self.w[index], cur_v + self.v[index], index + 1)
        self.package01(cur_c, cur_v, index + 1)  # 不装当前物品


def main():
    n, c = 4, 7
    w = [3, 5, 2, 1]
    v = [9, 10, 7, 4]

    pk = Package01(n, w, v)
    pk.package01(7, 0, 0)
    print(pk.max_v)
    print([i for i, _ in enumerate(pk.res) if _])


if __name__ == '__main__':
    main()

输出结果：

20
[0, 2, 3]