SciPy 中 Gamma 及其相关函数

本文解释了 SciPy 中 gamma 函数及其相关函数，这些函数有：

gamma
gammaln
gammainc
gamaincinv
gammaincc
gammainccinv
beta
betaln
betainc
betaincinv
psi
polygamma

SciPy 中的函数名很容易和数学函数相对应。但是，有以下几点要注意：

以 ln 结尾的函数的确是取自然对数，但它们要先取绝对值。
包含 inc 的函数计算的是 正则化 不完全函数（regularized incomplete functions），而不是简单的不完全函数。

这些要点将在下面阐明。

Gamma 和 beta 函数

在 SciPy 中 gamma 函数 $\Gamma (z)$ 和 beta 函数 $B(x, y)$ 毫不意外地被称为 gamma 和 beta。gamma(z) 计算：

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t

$\Gamma (z) = \int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t} dt$

beta(x, y) 计算：

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}

$B(x, y ) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt=\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

对数

通常 gamma 和 beta 函数在实践中不如其对数形式有用（请参阅这里的解释）。这些对数形式在 SciPy 中被称为 gammaln 和 betaln。注意 gammaln实际上返回的是 gamma 函数 绝对值 的自然对数，即 gammaln(z) 计算 $log|\Gamma(z)|$ 。而 betaln(x, y) 计算 $log|B(x, y)|$ 。

Psi 和 polygamma 函数

用 $\psi(z)$ 表示 $log(\Gamma(z))$ 的导数，在 SciPy 中被称为 psi 函数。 $\psi(z)$ 的第 n 个导数在 SciPy 中用 psi(n, z) 表示。

不完全函数与互补函数

gamma 和 beta 函数都有“不完全”版。但是，SciPy 的不完全伽马函数 gammainc 对应 正则化 伽玛函数。类似地，SciPy 的不完全 beta 函数 betainc 对应正则化 beta 函数。

（下）不完全 gamma 函数由下式定义

γ (a, z) = \int_{0}^{z} t^{a - 1} e^{- t} d t

$\gamma(a, z) = \int_0^z t^{a-1}e^{-t} dt$

上不完全 gamma 函数由下式定义

Γ (a, z) = \int_{z}^{\infty} t^{a - 1} e^{- t} d t

$\Gamma(a, z) = \int_z^{\infty} t^{a-1}e^{-t} dt$

之所以被称为“不完全”是因为它们在 gamma 函数定义域的一部分进行积分。不完全 beta 函数也遵循同样的模式。

正则化的不完全 gamma 函数定义如下：

P (a, z) = \frac{γ (a, z)}{Γ (a)}

$P(a, z) = \frac{\gamma(a, z)}{\Gamma(a)}$

以及

Q (a, z) = \frac{Γ (a, z)}{Γ (a)}

$Q(a, z) = \frac{\Gamma(a, z)}{\Gamma(a)}$

SciPy 的函数 gammainc(a, z) 计算 P(a, z)，函数 gammaincc 计算 Q(a, z)。注意 gammaincc 中额外的 c 代表“互补”。由于 Q(a, z) = 1 - P(a, z)，所以似乎不需要同时提供 P(a, z) 及其互补函数 Q(a, z)。但是，为了数值的精度，我们需要互补函数。请参阅这里的解释。这里同样适用于不完全伽马函数。

不完全 beta 函数定义为

B_{x} (a, b) = \int_{0}^{x} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t

$B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt$

正则化不完全 beta 函数定义为

I_{x} (a, b) = \frac{B_{x} (a, b)}{B (a, b)}

$I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)}$

SciPy 函数 betainc(a, b, c) 计算 $I_x(a, b)$

反函数

以 inv 结尾的 SciPy 函数计算相应函数的反函数。gammaincinv(a, y)返回使得 gammainc(a, x) = y 的 x。同样的，gammainccinv 是 gammaincc 的反函数。最后，betaincinv(a, b, y) 返回使得 betainc(a, b, x) = y 的 x。

在 gamma 和 beta 函数的 SciPy 实现中存在不对称：没有 betaincc 或 betainccinv 函数。由于 beta 函数的对称性，这些函数是不必要的。可以将 betaincc(a, b, x) 定义为 betainc(b, a, 1-x)，将 betainccinv(a, b, x) 定义为 betaincinv(b, a, 1-x)。

本文翻译自：Gamma and related functions in SciPy