区间dp复习之 tyvj 1198 矩阵连乘

题目描述

一个\(n*m\)矩阵由\(n\)行\(m\)列共\(n*m\)个数排列而成。两个矩阵\(A\)和\(B\)可以相乘当且仅当\(A\)的列数等于\(B\)的行数。一个\(N*M\)的矩阵乘以一个\(M*P\)的矩阵等于一个\(N*P\)的矩阵，运算量为\(nmp\)。
矩阵乘法满足结合律，\(A*B*C\)可以表示成\((A*B)*C\)或者是\(A*(B*C)\)，两者的运算量却不同。例如当\(A=2*3\)，\(B=3*4\)，\(C=4*5\)时，\((A*B)*C=64\)而\(A*(B*C)=90\)。显然第一种顺序节省运算量。
现在给出\(N\)个矩阵，并输入\(N+1\)个数，第i个矩阵是\(a[i-1]*a[i]\)

输入格式

第一行n(n<=100) 第二行n+1个数

输出格式

最优的运算量

样例

样例输入

3
2 3 4 5

样例输出

题解

解释：

可能大部分同学连题目都没有看懂，其实是很好理解的。
如题目中的\(A、B、C，A*B=2*3*4，B*C=3*4*5\)。
可以这么理解：两个矩阵（长宽中必须有一个相同）相乘，讲相同部分放中间，剩下两个不同的部分在两边相乘。如：

\(A：x*y，B：y*z，C：z*l\)
\(A*B=x*y*z，B*C=y*z*l\)

那么三个矩阵相乘是什么样的呢？
还是按上面的例子：\((A*B)*C=(x*y*z)*C\)，显然\(A*B\)后的矩阵长宽都发生了变化，变化的是：y的边去掉，x与z取相乘，则乘了后，矩阵变为了\(x*z\)
如图：

所以，则\((A*B)*C=(x*y*z)+(x*z*l)，A*(B*C)=(x*y*l)+(y*z*l)\)

注意：

题中求的是运算量，与矩阵相乘后的结果不一样，相乘后的结果只是用来求下一次相乘的运算量。

样例模拟：

a[i]与a[i+1]即第i个矩阵

\(A：2*3；B：3*4；C：4*5\)
\((A*B)*C：2*3*4+2*4*5=64\)
\(A*(B*C)：2*3*5+3*4*5=90\)
故最小的运算量=64
动态转移方程：

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i-1]*a[j]*a[k]);
//f[i][j]：从i到j的最小的运算量
//f[i][j]之间分开，分成i到k与k+1到j两个区间，现在就可以看出是很简单区间dp，在将运算量加上，取最小值

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=200,INF=0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][maxn],a[maxn];
int main(){
	int n;cin>>n;
    memset(dp,INF,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<=n;i++)
    	cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    	dp[i][i]=0;
    for(int j=2;j<=n;j++){
        for(int i=1,tmp;(tmp=i+j-1)<=n;i++){
            for(int k=i;k<tmp;k++){
                dp[i][tmp]=min(dp[i][tmp],dp[i][k]+dp[k+1][tmp]+a[i-1]*a[tmp]*a[k]);        
            }
        }
    }
    cout<<dp[1][n];
    return 0;
}