给定 n 个矩阵{A1，A2，A3，…，An}，其中，Ai 和 Ai+1（i=1，2，…，n−1）是可乘的。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同的计算次序计算量（乘法次数）是不同的，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的计算量最小
例如：
A1 是 M5×10 的矩阵；
A2 是 M10×100 的矩阵；
A3 是 M100×2 的矩阵。
那么有两种加括号的方法：
（1）（A1 A2）A3；
（2）A1（A2 A3）。
第 1 种加括号方法运算量：5×10×100+5×100×2=6000。
第 2 种加括号方法运算量：10×100×2+5×10×2=2100。
可以看出，不同的加括号办法，矩阵乘法的运算次数可能有巨大的差别！
（一）
分析问题：根据矩阵的乘法规则：Am×n、An×k相乘执行乘法运算的次数为 m*n*k。
如果直接暴力穷举所有加括号的方法，那么加括号的所有方案是一个卡特兰数序列，其算法时间复杂度为2^n，因此我们需要推理一下看能否可以用动态规划。
（1）分析是否具有最优子结构
假设AiAi+1.....Aj的乘法次数是s，AiAi+1....Ak的乘法次数是x，Ak+1Ak+2.....Aj的乘法次数是y，(AiAi+1....Ak)和（Ak+1Ak+2.....Aj）的乘法次数是z，则s=x+y+z，只要用反证法证明一下可知：如果s是最优的，则x和y一定是最优的。
（二）建立最优值递归式
① ：用m[i][j]表示AiAi+1....Aj矩阵连乘的最优值，那么两个子问题（AiAi+1....Ak)和（Ak+1Ak+2....Aj）对应的最优值分别是m[i][k]和m[k+1][j]。
②：而（AiAi+1....Ak)和（Ak+1Ak+2....Aj）的结果矩阵相乘的次数：
设Am的行数为Px，列数为qx，x=i,i+1,....,j。因为矩阵可乘是前一个矩阵的列数等于下一个矩阵的行数。
则（AiAi+1…Ak）的结果是一个 pi×qk矩阵，（Ak+1Ak+2…Aj）的结果是一个 pk+1*qj 矩阵，qk= pk+1，两个结果矩阵相乘的乘法次数是 pi*pk+1*qj。
③：递归式：
当i==j时：m[i][j]=0;
当i<j时，m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi*Pk+1*Pj}；
因为具有最优子结构性质，所以我们先求两个矩阵的最优值，再求3个矩阵想相乘的最优值，直到n个矩阵连乘的最优值。
（三）构造最优解
上述得到的最优值只是矩阵连乘的最小的乘法次数，并不知道加括号的次序，需要从记录表中往回追溯还原加括号，构造出最优解。用s[][]数组来存放各个子问题的加括号位置：
s[1][n] 表示 A1A2…An 最优解的加括号位置，即（A1A2…As[1][n]）（As[1][n]+1…An），我们在递归构造两个子问题（A1A2…As[1][n]）、（As[1][n]+1…An）的最优解加括号位置，一直递归到子问题只包含一个矩阵为止
代码详细：
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N = 10000;
int p[N], m[N][N], s[N][N];
int n;//矩阵个数
int matrixchain()
{
memset(s, 0, sizeof(s));
memset(m, 0, sizeof(m));
for (int r = 2; r <= n; r++)//不同规模的子问题
{
for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++)
{
int j = r + i - 1;
m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];//决策为k=i的乘法次数
s[i][j] = i;
for (int k = i + 1; k < j; k++)
{
int temp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
if (temp < m[i][j])
{
m[i][j] = temp;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
return m[1][5];
}
//追溯法
void print(int i,int j)
{
if (i == j)
{
cout << "A[" << i << "]";
return;
}
cout << "(";
print(i, s[i][j]);
print(s[i][j] + 1, j);
cout << ")";
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i <= n; i++)
cin >> p[i];//输入每个矩阵的行数和最后一个矩阵的列数
cout << "最小计算量的值为：" << endl;
cout << matrixchain() << endl;
print(1, n);
return 0;
}