[Codeforces894D]Ralph And His Tour in Binary Country

题意

给定有 $n$个节点的树，节点 $i$与 $\lfloor\frac i2\rfloor$有距离为 $L_i$的边。

$m$次询问，每次询问给出 $A,H$

​若某个节点到 $A$的距离 $L$小于 $H$，则会产生 $H-L$的贡献，求树上所有点与 $A$产生的贡献之和。

$n\le10^6,m\le10^5$

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题解

这棵树是一颗完全二叉树.设 ${\rm dep}_u$表示 $u$到 $1$的距离。

分别考虑 $u$子树内的答案和子树外的答案：

1. 子树内的答案即
   $\sum_{{\rm dep}_v-{\rm dep}_u<H}H-({\rm dep}_v-{\rm dep}_u)=\sum_{{\rm dep}_v<H+{\rm dep}_u}(H+{\rm dep}_u)-{\rm dep}_v=s(H+{\rm dep}_u)-\sum_{{\rm dep}_v<H+{\rm dep}_u}{\rm dep}_v$
   其中 $s=\sum[{\rm dep}_v<H+{\rm dep}_u]$.
   将 $u$子树内所有的 ${\rm dep}_v$放到的一个数组 $a_u$中，对 $a_u$排序后求其前缀和数组 ${\rm Sum}_u$。
   那么这部分答案就可以通过对 $a_u$数组二分得到 $s$算出来，即 $s(H+{\rm dep}_u)-{\rm Sum}_u[s]$。
2. 父亲 $fa_u$及其兄弟节点 $w$.父亲的答案即 $H-L_u$.兄弟节点 $w$的子树内的节点的答案即
   $\sum_{{\rm dep}_v-{\rm dep}_w+L_u+L_w<H}H-({\rm dep}_v-{\rm dep}_w+L_u+L_w)=s'(H+{\rm dep}_w-L_u-L_w)-\sum_{{\rm dep}_v<H+{\rm dep}_w-L_u-L_w}{\rm dep}_v$
   可以发现上式和 $1.$中的式子形式相同，故可以统一处理.
3. 父亲的父亲及父亲的兄弟节点…

由于这是棵完全二叉树，故暴力跳父亲算答案最多跳 $\log n$次，算上二分的 $\log n$，单次询问复杂度为 $\log^2n$.
$a_u$可以自底向上通过归并求出，且根据完全二叉树的特性，可以采用非递归的形式求解降低常数。

时间复杂度 $O(n\log n+m\log^2n)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
typedef long long ll;
int n, m, dep[N], Len[N];
vector<int> a[N];
vector<ll> Sum[N];
inline ll Calc(int u, int H) {
    if (H <= 0 || !a[u].size())
        return 0;
    int s = lower_bound(a[u].begin(), a[u].end(), H) - a[u].begin();
    return s ? (ll)s * H - Sum[u][s - 1] : 0;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        scanf("%d", Len + i);
    for (int u = 1; u <= n / 2; ++u) {
        int L = u << 1, R = L | 1;
        if (L <= n)
            dep[L] = dep[u] + Len[L];
        if (R <= n)
            dep[R] = dep[u] + Len[R];
    }
    for (int u = n; u; --u) {
        int L = u << 1, R = L | 1;
        a[u].emplace_back(dep[u]);
        if (R <= n)
            merge(a[L].begin(), a[L].end(), a[R].begin(), a[R].end(),
                  back_inserter(a[u]));
        else if (L <= n)
            a[u].insert(a[u].end(), a[L].begin(), a[L].end());
        Sum[u].resize(a[u].size());
        Sum[u][0] = a[u][0];
        for (int i = 1; i < (int)Sum[u].size(); ++i)
            Sum[u][i] = Sum[u][i - 1] + a[u][i];
    }
    for (int u, H; m--;) {
        scanf("%d%d", &u, &H);
        ll Ans = Calc(u, H + dep[u]);
        for (H -= Len[u]; H > 0 && u != 1; H -= Len[u >>= 1])
            Ans += H + Calc(u ^ 1, H - Len[u ^ 1] + dep[u ^ 1]);
        printf("%lld\n", Ans);
    }
    return 0;
}