偏序关系和全序关系

一、关系 (relation)

https://www.youtube.com/watch?v=FI6j5QZNVx0&list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz&index=48

https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs103/cs103.1132/lectures/06/Slides06.pdf

1. 关系(relation)

集合A和集合B之间的关系R是A和B的笛卡尔积的一个子集。

# 例子

假设集合为 $Z$（整数集合），集合 $Z$上的关系为 $G$， $xGy$表示x比y大。

那么 $(1, 2)\notin G$，而 $(2, 1)\in G$。

2. 描述关系的一些性质

下属性质用来描述关系，不是所有的关系都会满足下述性质

a. 反身性 (reflexive)

举个例子，对于整数集 $Z$，规定关系 $R$为相等关系，也就是对于 $a, b \in Z$，若 $a = b$，则 $(a,b) \in R$；若 $a\neq b$， $(a,b) \notin R$。

对于上述关系 $R$，满足反身性。因为对于集合 $Z$中任意一个元素 $z$，均有 $(z, z) \in R$，即 $zRz$。

b. 对称性 (symmetric)

举个例子，对于整数集 $Z$，规定关系 $R$为不等关系，也就是对于 $a, b \in Z$，若 $a \neq b$，则 $(a,b) \in R$；若 $a = b$，则 $(a,b) \notin R$。

对于上述关系 $R$，满足对称性。因为对于集合 $Z$中任意两个不等元素 $a, b, a \neq b$，均有 $b \neq a$。即 $(a, b) \in R$且 $(b, a) \in R$

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c. 传递性 (transitive)

例子：小于关系

d. 反对称性 (Antisymmetric)

定义：集合 $A$上有关系 $R$，对于 $a,b \in A$，如果 $aRb$且 $bRa$，则 $a=b$

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例子：

• 小于等于关系
• 子集关系

e. total性质

二、偏序 (Partial Order)

• https://www.youtube.com/watch?v=R36F8CWAi2k&list=PLDDGPdw7e6Ag1EIznZ-m-qXu4XX3A0cIz&index=50&pbjreload=10
• https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set#Strict_and_non-strict_partial_orders

1. 非严格的偏序关系(non-strict partial order)

集合 $A$上的关系 $R$如果满足：

• 反对称性
  • 对于 $\forall a, b \in A$，若 $aRb$且 $bRa$，则 $a=b$
• 反身性
  • 对于 $\forall a\in A$，有 $aRa$
• 传递性
  • 对于 $\forall a,b,c \in A$，若 $aRb, bRc$，则 $aRc$

则称关系 $R$为集合 $A$上的一个***(非严格的)偏序关系***，记做 $\preceq$。

# 非严格偏序的例子

小于等于关系

2. 严格的偏序关系 (strict partial order)

集合 $A$上的关系 $R$如果满足：

• 非对称性 (Asymmetry)：非对称性，not反对称性
  • 对于 $\forall a, b \in A$，若 $aRb$，则不可能有 $b R a$
• 非反身性
  • 对于 $\forall a\in A$， $(a, a) \notin R$
• 传递性
  • 对于 $\forall a,b,c \in A$，若 $aRb, bRc$，则 $aRc$

则称关系 $R$为集合 $A$上的一个***(严格的)偏序关系***，记做 $\preceq$。

# 严格偏序的例子

(1) 编程语言中的happen-before。

• 对于任意两个操作A和B，若A happen before B，则不可能有B happen before A
• 对于任意三个操作A、B、C，若A happen before B且B happen before C，则A happen before C
• 对于任意一个操作A，不可能有A happen before A

(2) 字母表的顺序

三、全序(Total Order)

https://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/relation/order/order.html

1. 全序关系的定义

集合 $A$上的关系 $R$如果满足：

• $R$是偏序关系(反对称性、反身性、传递性)，可以是严格的也可以是非严格的
• $R$满足total性质
  • 即 $\forall a, b\in A$，有 $aRb$或 $bRa$ （它们二者有可能同时成立，此时根据反对称性，说明 $a=b$）

则称关系 $R$为集合 $A$上的一个全序关系，记做 $\prec$。

2. 全序关系的例子

• 小于等于关系

四、偏序和全序的关系

偏序关系是全序关系的子集，某集合上的一个全序关系一定是该集合上的偏序关系。

全序关系相比偏序关系多出来一条要求——total。

这条要求是什么意思，举个例子，假设集合 $Set$是26个英文字母的集合，关系 $R$是先后关系， $(l1, l2) \in R$表示字母表中字母 $l1$排在 $l2$的前面。可以验证，关系 $R$是全序关系。全序关系的total特性确保了对于Set中✅任意两个元素，都满足关系 $R$，即 $\forall a,b \in Set$(a和b可能相等)，都满足关系 $R$（要么 $aRb$, 要么 $b R a$）。

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而考虑下面的例子： $Z_+$为正整数集合， $R$为 $Z_+$上的整除关系，显然 $R$是一个非严格的偏序关系，而不是全序关系，因为不是任意两个元素都有整除关系的。