同余最短路

概念：

属于最短路的拓展应用，常用于类似下面的模型:

已知一个带权图，现在需要求出从点 $u$ 到点 $v$ 是否存在一条路径，满足路径长度为 $L$，每条边可以重复经过。其中数据满足：
$L \leq 10^{18}~~~\forall w\leq 10^4$
当然，题目也可以换成求出一个区间 $[minL,maxL]$ 内的方案数，最小的合法长度，看题目的具体要求。

以简单的例题开始

题面[luogu P3403 跳楼机]

Srwudi的家是一幢 $h$层的摩天大楼。由于前来学习的蒟蒻越来越多，srwudi改造了一个跳楼机，使得访客可以更方便的上楼。

经过改造，srwudi的跳楼机可以采用以下四种方式移动：

1. 向上移动 $x$层；
2. 向上移动 $y$层；
3. 向上移动 $z$层；
4. 回到第一层。

一个月黑风高的大中午，DJL来到了srwudi的家，现在他在srwudi家的第一层，碰巧跳楼机也在第一层。DJL想知道，他可以乘坐跳楼机前往的楼层数。
$h\leq 2^{63}-1,x,y,z\leq 10^5$

题解（瞎吹）

如果不考虑 $h$的大小问题，那么我们可以得到一个简单的dp:
$f(i)=f(i-x)~~V~~ f(i-y)~~V~~ f(i-z)\\ f(1)=true\\ （或运算符用V表示）$
因为 $h$过大，这个dp的时空复杂度过高，不能接受，因此需要进行优化。

最终上升到的楼层和操作的顺序没有关系，所以我们可以将一种操作堆积起来，将一个到达的楼层分解为:
$h=ax+by+cz$
首先我们用最短路的方式求出数组 $f()$，不知道怎么计算的到时候看代码
$f(i)=\min\limits_h\{h\mod z=i\}\\ 其中h=ax+by$
翻译成人话就是用前两种操作到达一个高度h，这个高度和z取模的结果是i， $f(i)$表示的是最小的h。

求出这个 $f()$之后，我们从楼层 $f(i)$出发，只用操作3能够到达的楼层有:
$\lfloor{h-f(i)\over x}\rfloor + 1~~~~~~~(1)$
那么这个答案是否有遗漏呢，假设我们从 $f(i)$出发，用操作1，2再走到了一个楼层 $h'$，这个楼层依然满足 $h'\mod z=i$，那么可以得到:
$h'=\lfloor{h'\over z}\rfloor z+i\\ \because h=\lfloor{h\over z}\rfloor z+i\\ \therefore h'-h=(\lfloor{h'\over z}\rfloor-\lfloor{h\over z}\rfloor)z$
所以这个楼层 $h'$其实也可以由 $h$使用几次操作3得到，也就说它会被计算到式子(1)中，不会被遗漏，那么我们最终的答案可以表示为:
$ans = \sum\limits_{i=0}^n \lfloor{h-f(i)\over x}\rfloor+1$
这样的计算是不会用重复的。简单的证明（乱搞）如下：

使用反证法，如果同一个楼层能使用两种不同的方式得到，如果 $x,y,z$互不相等，那么:
$a_1x+b_1y+c_1z=a_2x+b_2y+c_2z=h$
两个多项式相等，则这两多项式最高次数相同，且对应次数项的系数相同.

那么得到
$a_1=a_2,b_1=b_2,c_1=c_2$
显然两个方法其实是同一个。

如果 $x,y,z$有两个是相等的，那么就可以将这两个相等字母所在的单项式合并，依然是类似于上面的结果。

一道难一点的题

题面[luogu P2371 墨墨的等式]

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究等式

$a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=B$

存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定 $N$、 $\{an\}$、以及 $B$的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

$N\leq 10,\\\forall a_i\leq 5\times 10^5,\\1 \leq B_{min}\leq B_{max}\leq 10^{12}$

题解（瞎吹）

显然用 $[0,B_{max})$的方案数减去 $[0,B_{min}-1)$的方案数就是题目要求的答案了。

找到序列 $a$中最小的元素 $m$，然后将序列中的每个元素分别对其取模，得到一个新的序列 $t$。这样的话，如果一个 $B$是合法的，那么 $B+mx(x\in N)$也是合法的。而我们只需要知道一个对 $m$取模为 $i$的最小 $B$是多少，那么就知道在区间 $[0,B_{max}]$中有多少个数对 $m$取模为 $i$。

首先我们做一个最短路，对于点 $u(u<m)$和点 $(u+a_i)\mod m$建一条边权为 $a_i$的边，然后求出数组 $f(u)$，其意义和上一道题目差不多。

而求出 $[0,B_{max})$中的方案数可以使用这一条式子，而 $[0,B_{min}-1)$的方案树也是类似的：

$\sum\limits_{i=0}^{m-1} \lfloor{B_{max}-f(i)\over m}\rfloor+1$

关于不重复和不遗漏的问题就交给正在看的各位dalao了。

再难一点的题目

题面

有一个有 $n$个点的无向图，共有 $m$条边，每一条边 $e_i$的边权为 $w_i$,现在要找到一条从点 $1$到点 $n$的路径，其长度恰好为 $L$。问是否存在这样的路径。
$n\leq 50, w_i\leq 3\times 10^4, len\leq 10^{18}$

题解（可能会TLE）

首先定义同余最短路的距离数组 $dis[u][m]$表示从开始到点 $u$，经过的路径长度 $l$是满足 $l\equiv m~~~~(mod~~M)$的最小 $l$，显然可以通过spfa求出。

对于与点 $n$直接相连的一个点 $v$，它们之间的边 $e$的长度为 $w$，显然到达该点之后在 $e$上来回走奇数数次后可以到达点 $n$，如果经过一条合法的路径（题目要求的路径）是经过这一条边的，那么 $l$可以分解为 $l_1+2aw$,而这个 $l_1$要满足： $l_1\equiv l~~~~(mod~~2w)$，所以这个 $l_1$可以被认为是 $dis[v][l\mod 2w]+2w$，那么如果式子可以表示 $l$那么就需要满足 $dis[v][l\mod 2w]\leq l$，于是同余最短路中的 $M=2w$。

那么最终的算法表示为：
枚举一个端点为 $n$的边，按照如上的方式计算出 $dis$数组，接着判断。