2020暑期牛客多校训练营第七场（G）Topo Counting

Topo Counting

原题请看这里

题目描述：

给定一种有向无环图———的晒肉架图 $(DRG)$，由唯一参数 $N$控制。 $DRG$包含 $N$组顶点。第 $i$组 $V^i$包含 $2N$个顶点： $V^i_1，V ^ i_2，\cdots，V ^ i_ {2N}$
在 $DRG$中有两种类型的边：组内边（每组内的边）和内部-组边（组之间的边）。
组内边缘：对于第 $i$组，存在以下组内边缘：
$(V ^ i_j，V ^ i_ {j+N})$，对于所有整数 $j$使得 $1\le j\le N$
$(V ^ i_j，V ^ i_ {j+1})$，对于所有整数 $j$使得 $1\le j\le N-1$或 $N+1 \leq j \le 2N-1$
组间边缘：组边缘存在：
$(V ^ 1_ {i + N}，V ^ {i + 1} _1)$，对于所有整数 $i$使得 $1 \le i \le N-1$；
$(V ^ 1_ {i}，V ^ {i} _ {1 + N})$，对于所有整数 $i$使得 $2 \le i \le N$
现在我们想知道以 $N$为参数的 $DRG$的拓扑序数。
有向图 $G=(V，E)$的拓扑顺序是 $V(G)$的所有顶点的排列 $v_ {p_1}，v_ {p_2}，\cdots，v_ {p_ {| V(G)|}} )$使得对于所有 $i <j$， $(v_ {p_j}，v_ {p_i}) \not \in E(G)$
为了避免计算巨大的整数，请对答案取模 $M$。

输入描述：

输入仅包含两个整数 $N，M(1 \le N \le 3000，N * N * 2 <M \le 2 ^ {30})$，并且 $M$是质数。

输出描述：

输出一个整数，表示答案。

样例：

样例输入1：

2 1073741789

样例输出1：

31

样例输入2：

3 1073741789

样例输出2：

7954100

思路：

首先我们画一张图 $(n=4)$：（爬ppt（官方）的图）

从中我们可以发现：所有的子图都连向了第一号子图，仔细观察就会发现这个图就像一个晒肉架子… $n$唯一确定了这张图。
看到这张图，我们忽略图与图之间的连边就可以分开考虑，然后 $dp$求出所有子图 $($肉 $)$的可能性，最后汇总即可，如果是分开的几个子图，设两个子图上的节点数为 $d_1$, $d_2$，拓扑序的可能性为 $a$， $b$,那么两个子图的可能性就是 $C^{d1}_{d1+d2}ab$，这是很好解决的，但是图中是连着的，所以我们要分几种情况考虑。
对于一个子图，进行拓扑时删掉的点的数量上面的肯定比下面的多，而拓扑限制只有与一号子图的第一条连边，不删掉这条边是无法得到下面这块“肉”的，所以我们的 $dp$需要维护的东西比较多：当前第二排架子删到了第几个；第一排架子删到了第几个；维护的“肉”还剩多少。这时你会发现：我们写出的 $dp$是一个三维的 $dp$，超时。
哇我辛辛苦苦求出来的居然超时呜呜呜呜
于是我们又想到如何压缩 $dp$的维度：
如果在一个完整的图中只删去了一个点，我们只需要一维：

如果只删去第一行的，那么只需要两维：

如果把第二行也删了，也只需要两维：

这样我们就成功的把 $dp$压成了二维。

$AC$ $Code$:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN = 3005;
const int MAXM = MAXN * MAXN * 2;
int n , mod , dp[ MAXN ][ MAXN ] , mul[ MAXM ] , inv[ MAXM ];
int ksm (int a, int b) {
    int ret = 1;
    while (b) {
        if(b & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int C (int n, int m) {
    if( n < m || m < 0 ) return 0;
    return 1ll * mul[ n ] % mod * inv[ m ] % mod * inv[ n - m ] % mod;
}
int Cat (int n, int m) { return ( C(n * 2 - m, n ) - C( n * 2 - m, n - m - 1 ) + mod ) % mod; }
int main () {
    scanf( "%d%d" , &n, &mod );
    mul[ 0 ] = dp[ 0 ][ 0 ] = 1;
    for ( int i = 1 ; i < MAXM ; ++i ) mul[ i ] = 1ll * mul[ i - 1 ] * i % mod;
    inv[ MAXM - 1 ] = ksm( mul[ MAXM - 1 ] , mod - 2 );
    for ( int i = MAXM - 2 ; ~ i ; --i ) inv[ i ] = 1ll * inv[ i + 1 ] * ( i + 1 ) % mod;
    for ( int i = 0 ; i < n ; ++i )
        for ( int j = 0 ; j < n ; ++j ) {
            if ( i == n - 1 && j == n - 1 ) continue;
            int left = 2 * n * n - min( i , j ) * n * 2 - i - j - 2;
            if ( j == i + 1)
                for ( int k = 0 ; k <= n; ++k )
                    dp[ i + 1 ][ j ] = ( dp[ i + 1 ][ j ] + 1ll * dp[ i ][ j ] * C( left - k , n * 2 - k ) % mod * Cat( n , k ) % mod ) % mod;
            else {
                dp[ i + 1 ][ j ] = ( dp[ i + 1 ][ j ] + dp[ i ][ j ] ) % mod;
                if ( i == j ) dp[ i ][ j + 1 ] = ( dp[ i ][ j + 1 ] + dp[ i ][ j ] ) % mod;
                else dp[ i ][ j + 1 ] = ( dp[ i ][ j + 1 ] + 1ll * dp[ i ][ j ] * C( left , n * 2 ) % mod * Cat( n , 0) % mod ) % mod;
            }
        }
    printf( "%d\n" , dp[ n - 1 ][ n - 1 ] );
}