牛客多校4 - Count New String(序列自动机+广义后缀自动机)

题目大意：

题目分析：首先观察到集集合 A 中那个套娃的表示，外层的范围是 [ x1 , y1 ] ，内层是 [ x2 , y2 ] ，而内层的定义域实际上是包含在外层的定义域内的，这样外层的函数 f 其实是不起作用的，因为内层的函数 f 已经按照规则将区间集合 A 中 [ x1 , y1 ] 内的每个元素按照规则转换完毕了，再进行一次相同的转换，则就变的可有可无了，换句话说，每一个 f( S , x1 , y1 ) 实质上表示为字符串 s 的每个子串经过 f 函数转换后的字符串，这样题意就变成了求所有子串经过 f 函数的转换后，有多少个本质不同的字符串

上面转换后的题意还不够直接，通过观察可以发现，假设字符串 s 在经过 f 函数的转换后，得到新的字符串记为 ss ，不难看出字符串 s 的一个前缀在经过 f 函数的转换后，得到的仍然是 ss 的前缀

参考后缀与子串的关系，可以将所有的子串表示为任意一个后缀的前缀，同样题意转换为了所有经过 f 函数转换后的后缀中，有多少个本质不同的子串

这样题意就转换为了求 f( S , i , n ) ，i ∈ [ 1 , n ] ，求 n 个串中本质不同的子串，这个可以借助广义后缀自动机来完成，但是如果暴力为 n 个串建立 sam 的话，时空复杂度都会爆掉，再根据 f 函数的性质来考虑，可以发现，因为字符集的大小为 10，所以任意一个位置的字符，至多会被更新 9 次，最极端的情况下，假设字符串为 dcbaaa...aaa，后缀的长度从小到大可以表示为：

a
aa
aaa
......
aaa...aaa
bbbb...bbb
ccccc...ccc
ddddd...ddd

这是最极端的情况，这样整体建立广义 sam 的时空复杂度也不会超过 10N

在建立广义 sam 时，可以借助序列自动机来实现，普通的序列自动机 nx[ i ][ j ] 记录的是位置 i 后(包括)首次出现字母 j 的位置，在本题中需要转换为：nx[ i ][ j ] 表示为记录位置 i 后(包括)首次大于等于字母 j 的位置，这样对于第 i 个位置的字母 j 来说，只需要暴力更新一下 [ i , nx[ i ][ j ] - 1 ] 就好了，nx[ i ][ j ] 往后的位置都可以直接从前面维护的 trie 树中拉下来继续用

时空复杂度都是 10N

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
typedef unsigned long long ull;
 
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
const int N=1e6+100;
 
char s[N];
 
int tot,last,id[N],nx[N][10];
 
struct Node
{
    int ch[10];
    int fa,len;
}st[N<<1];
 
inline int newnode()
{
	tot++;
	for(int i=0;i<10;i++)
		st[tot].ch[i]=0;
	st[tot].fa=st[tot].len=0;
	return tot;
}
 
void add(int x)
{
    int p=last;
    //
    if(st[p].ch[x])
    {
    	int q=st[p].ch[x];
    	if(st[q].len==st[p].len+1)
    		last=q;
    	else
    	{
    		int np=last=++tot;
    		st[np].len=st[p].len+1;
    		st[np].fa=st[q].fa;
    		st[q].fa=np;
    		for(int i=0;i<10;i++)
    			st[np].ch[i]=st[q].ch[i];
    		while(st[p].ch[x]==q)
    			st[p].ch[x]=np,p=st[p].fa;
		}
    	return;
	}
	//
	int np=last=++tot;
    st[np].len=st[p].len+1;
    while(p&&!st[p].ch[x])st[p].ch[x]=np,p=st[p].fa;
    if(!p)st[np].fa=1;
    else
    {
        int q=st[p].ch[x];
        if(st[p].len+1==st[q].len)st[np].fa=q;
        else
        {
            int nq=++tot;
            st[nq]=st[q]; st[nq].len=st[p].len+1;
            st[q].fa=st[np].fa=nq;
            while(p&&st[p].ch[x]==q)st[p].ch[x]=nq,p=st[p].fa;//向上把所有q都替换成nq
        }
    }
}
 
void init()
{
	last=1;
	tot=0;
	newnode();
}
 
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1);
	for(int i=0;i<10;i++)
		nx[n+1][i]=n+1;
	for(int i=n;i>=1;i--)//nx[i][j]:第i个位置(包括)后首次出现大于等于j的位置 
	{
		for(int j=0;j<10;j++)
			nx[i][j]=nx[i+1][j];
		nx[i][s[i]-'a']=i;
		for(int j=8;j>=0;j--)
			nx[i][j]=min(nx[i][j],nx[i][j+1]);
	}
	id[n+1]=last;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		int pos=nx[i+1][s[i]-'a'];
		last=id[pos];
		for(int j=i;j<pos;j++)
			add(s[i]-'a');
		id[i]=last;
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		ans+=st[i].len-st[st[i].fa].len;
	printf("%lld\n",ans);






    return 0;
}

牛客多校4 - Count New String(序列自动机+广义后缀自动机)

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