＜笔记＞光纤(光波导)中的传输特性1

概述

我们要研究的问题是：

1. 用什么方法来描述光波导的传输特性。
2. 光波导的参数如何影响其传输特性。

我们常说的光信号(光脉冲)，是由光载波和调制在光载波上的含有信息的包络共同构成的。

如果光波导的传输模型包含两边的广电转换部分的话，输入信号和输出信号都指仅含有信息的光脉冲的包络波形，通常用$P(t)$或$|E(t){|}^2$表示，这相当于引入了一个调制、解调的过程。

此时它不再是一个线性系统(如果只有光纤的话就是一个线性系统)。那也就没法用线性系统的参数(比如带宽)来描述光波导的基带特性了。现在，影响传输特性的因素有：

1. 光源。激光器的谱宽较窄，发光二极管的谱宽较宽。由于每个波长均可激发出一定的模式，因此严重影响光信号的传输特性。同时光源可能的啁啾也将严重影响传输特性。
2. 光波导本身的结构对于传输特性的印象严重。
3. 调制到光载波上的基带信号的波形及带宽也会影响其传输特性。也就说，不同类型的基带信号在同一光波导中传输时，其演化特性是有差别的。

细化后的光波导传输系统模型如上所示，这个模型中$|f(t)|$是待传输的基带信号，$|f(t){|}^2$作为输入功率信号。$x(t),y(t)$均是调制后的光信号，$\varphi (t)$是输出的解调信号，$|\varphi (t)|$是包络信号。(图中的标注有些乱，懂这个意思就好了)

光波导的传输特性包括：色散、损耗、非线性。
损耗：传输过程中光能量的损耗。
色散：使光信号的波形发生畸变，如果信号是一个脉冲信号，色散往往是使脉冲展宽且幅度下降，但总功率并没有损失。
非线性：光波导的非线性可能不会引起波形变化，但是会使光载频展宽，从而使光信号的总频带展宽。

在光波导中传输的是一个个模式，这些模式在同一时刻随着距离的变化将产生相移，故光波导是一个相移系统，会引起包络波形的变化。所以传输常数$\beta$是描述传输特性最基本的参数 β = F { ϵ ( x , y ) , ω } \beta=F\{\epsilon(x,y),\omega\} β=F{ ϵ(x,y),ω}要注意：

1. $\beta$是针对于一个模式而言的，如果一根光纤中传输多个模式，每个模式都有一个$\beta$。
2. $\beta$既是光波导结构$ϵ(x,y)$的泛函也是$\omega$的函数，且光波导结构$ϵ(x,y)$也是$\omega$的函数。
3. 模式可以分离变量成，传输常数$\beta$与模式场$(e,h)$。而且一个模式的传输常数$\beta$由模式场的分布形式$(e,h)$唯一确定。反之，如果$\beta$因为某种原因变了，那么模式场的分布形式也肯定不是从前的样子了。

由于基带信号相对于光载频而言，带宽小得多，所以$\beta (\omega )$可以光频${\omega }_0$为中心做泰勒展开$$\begin{gathered} \beta (\omega )=\beta ({\omega }_0)+{\frac{d\beta }{d\omega }|}_{\omega ={\omega }_0}(\omega -{\omega }_0)+\frac{1}{2}{\frac{d^2\beta }{d{\omega }^2}|}_{\omega ={\omega }_0}(\omega -{\omega }_0{)}^2+ \\ \frac{1}{6}{\frac{d^3\beta }{d{\omega }^3}|}_{\omega ={\omega }_0}(\omega -{\omega }_0{)}^3+...\stackrel{\text{def}}{=}{\beta }_0+{\beta }_0^{\prime }(\omega -{\omega }_0)+\frac{1}{2}{\beta }_0^{\prime \prime }(\omega -{\omega }_0{)}^2+ \\ +\frac{1}{6}{\beta }_0^{\prime \prime \prime }(\omega -{\omega }_0{)}^3+... \end{gathered}$$其中${\omega }_0$是光载频。${\beta }_0^{\prime },{\beta }_0^{\prime \prime },{\beta }_0^{\prime \prime \prime }$会严重影响光波导的传输特性。

信号$f(t)$的频域变换记为$F(\Omega )e^{-j\Omega t}$，将信号调制到光频上得到$F(\Omega )e^{-j(\Omega +{\omega }_0)t}$，调制后的信号通过光波导变成$F(\Omega )e^{-j(\Omega +{\omega }_0)t}{e}^{j\beta z}$。对应的时域信号$$y(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\Omega )e^{j[\beta z-(\Omega +{\omega }_0)t]}d\Omega$$此外不仅仅信号包络会产生相移，光载波$e^{-j\omega t}$也会产生相移。所以需要在接收端添加光频解调器$e^{j({\omega }_{0}t-{\beta }_{0}z)}$(为什么这里用${\beta }_0$不用$\beta$呢？？？) 于是输出的解调信号为$$\varphi (t)=\frac{y(t)}{e^{j({\omega }_{0}t-{\beta }_{0}z)}}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\Omega )e^{j[(\beta -{\beta }_0)z-\Omega t]}d\Omega$$此外从$y(t)$的表达式也能看出，单个模式的传输特性不直接与模式场$(e,h)$的分布有关。

可得到3条结论：

1. 由于$\varphi (t)$的表达式中$(\beta -{\beta }_0)$不为0(为0时，就是$f(t)$的傅里叶反变换了)，所以计算出的$\varphi (t)$有$|\varphi (t)|e^{j\theta }$的形式。但是这个角度，不应该看成包络信号的相位，而应该看成光载波的附加相位。
2. $\varphi (t)$与$f(t)$并不成线性关系，不满足叠加原理。或者说输出光功率$P_{out}$与输入光功率$P_{in}$不成线性关系。
3. 输出信号(就是指的包络信号 $\varphi (t)$)不直接与模式场的空间分布相关，它需要通过传播常数$\beta$来起作用。所以如果模式场的空间变化并没有引起$\beta$明显的变化就可以不考虑。

群时延

当传输常数$\beta (\omega )$只考虑${\beta }_0+{\beta }_0^{\prime }(\omega -{\omega }_0)$的影响时，得到$\varphi (t)=f(t-{\beta }_0^{\prime }z)$。这表明，输出光的包络信号是输入光的包络信号在时间上的延迟，而且这种延时与波形形状无关。每传播单位长度的距离，就有${\beta }_0^{\prime }$的延时，所以称${\beta }_0^{\prime }$是单位长度上的群时延，记为$\tau$.

光纤的这种时延特性可以用于制作延时器。通常群速度和相速度相差不大，所以1m长的光纤延迟5ns。

这是一个高斯信号传播的示意图(注意这是光信号的包络，称为波包)。由此可以看看出波包的传输速度为$$v_g=\frac{1}{\tau }=\frac{1}{{\beta }_0^{\prime }}$$这个速度就是群速度。

相速度的定义为$v_{\varphi }=c/n$，其中n为折射率。类似可以定义群折射率 $$N=c/v_g$$