概述
我们要研究的问题是:
- 用什么方法来描述光波导的传输特性。
- 光波导的参数如何影响其传输特性。
我们常说的光信号(光脉冲),是由光载波和调制在光载波上的含有信息的包络共同构成的。
如果光波导的传输模型包含两边的广电转换部分的话,输入信号和输出信号都指仅含有信息的光脉冲的包络波形,通常用 P ( t ) P(t) P(t)或 ∣ E ( t ) ∣ 2 |E(t)|^2 ∣E(t)∣2表示,这相当于引入了一个调制、解调的过程。
此时它不再是一个线性系统(如果只有光纤的话就是一个线性系统)。那也就没法用线性系统的参数(比如带宽)来描述光波导的基带特性了。现在,影响传输特性的因素有:
- 光源。激光器的谱宽较窄,发光二极管的谱宽较宽。由于每个波长均可激发出一定的模式,因此严重影响光信号的传输特性。同时光源可能的啁啾也将严重影响传输特性。
- 光波导本身的结构对于传输特性的印象严重。
- 调制到光载波上的基带信号的波形及带宽也会影响其传输特性。也就说,不同类型的基带信号在同一光波导中传输时,其演化特性是有差别的。
细化后的光波导传输系统模型如上所示,这个模型中 ∣ f ( t ) ∣ |f(t)| ∣f(t)∣是待传输的基带信号, ∣ f ( t ) ∣ 2 |f(t)|^2 ∣f(t)∣2作为输入功率信号。 x ( t ) , y ( t ) x(t),y(t) x(t),y(t)均是调制后的光信号, ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)是输出的解调信号, ∣ ϕ ( t ) ∣ |\phi(t)| ∣ϕ(t)∣是包络信号。(图中的标注有些乱,懂这个意思就好了)
光波导的传输特性包括:色散、损耗、非线性。
损耗:传输过程中光能量的损耗。
色散:使光信号的波形发生畸变,如果信号是一个脉冲信号,色散往往是使脉冲展宽且幅度下降,但总功率并没有损失。
非线性:光波导的非线性可能不会引起波形变化,但是会使光载频展宽,从而使光信号的总频带展宽。
在光波导中传输的是一个个模式,这些模式在同一时刻随着距离的变化将产生相移,故光波导是一个相移系统,会引起包络波形的变化。所以传输常数 β \beta β是描述传输特性最基本的参数 β = F { ϵ ( x , y ) , ω } \beta=F\{\epsilon(x,y),\omega\} β=F{ ϵ(x,y),ω}要注意:
- β \beta β是针对于一个模式而言的,如果一根光纤中传输多个模式,每个模式都有一个 β \beta β。
- β \beta β既是光波导结构 ϵ ( x , y ) \epsilon(x,y) ϵ(x,y)的泛函也是 ω \omega ω的函数,且光波导结构 ϵ ( x , y ) \epsilon(x,y) ϵ(x,y)也是 ω \omega ω的函数。
- 模式可以分离变量成,传输常数 β \beta β与模式场 ( e , h ) (e,h) (e,h)。而且一个模式的传输常数 β \beta β由模式场的分布形式 ( e , h ) (e,h) (e,h)唯一确定。反之,如果 β \beta β因为某种原因变了,那么模式场的分布形式也肯定不是从前的样子了。
由于基带信号相对于光载频而言,带宽小得多,所以 β ( ω ) \beta(\omega) β(ω)可以光频 ω 0 \omega_0 ω0为中心做泰勒展开 β ( ω ) = β ( ω 0 ) + d β d ω ∣ ω = ω 0 ( ω − ω 0 ) + 1 2 d 2 β d ω 2 ∣ ω = ω 0 ( ω − ω 0 ) 2 + 1 6 d 3 β d ω 3 ∣ ω = ω 0 ( ω − ω 0 ) 3 + . . . = def β 0 + β 0 ′ ( ω − ω 0 ) + 1 2 β 0 ′ ′ ( ω − ω 0 ) 2 + + 1 6 β 0 ′ ′ ′ ( ω − ω 0 ) 3 + . . . \beta(\omega)=\beta(\omega_0)+\left.\dfrac{d\beta}{d\omega}\right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}\left.\dfrac{d^2\beta}{d\omega^2}\right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0)^2+\newline \frac{1}{6}\left.\dfrac{d^3\beta}{d\omega^3}\right|_{\omega=\omega_0}(\omega-\omega_0)^3+...\overset{\text{def}}{=}\beta_0+\beta'_0(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}\beta''_0(\omega-\omega_0)^2+\newline +\frac{1}{6}\beta'''_0(\omega-\omega_0)^3+... β(ω)=β(ω0)+dωdβ∣∣∣∣ω=ω0(ω−ω0)+21dω2d2β∣∣∣∣ω=ω0(ω−ω0)2+61dω3d3β∣∣∣∣ω=ω0(ω−ω0)3+...=defβ0+β0′(ω−ω0)+21β0′′(ω−ω0)2++61β0′′′(ω−ω0)3+...其中 ω 0 \omega_0 ω0是光载频。 β 0 ′ , β 0 ′ ′ , β 0 ′ ′ ′ \beta'_0,\beta''_0,\beta'''_0 β0′,β0′′,β0′′′会严重影响光波导的传输特性。
信号 f ( t ) f(t) f(t)的频域变换记为 F ( Ω ) e − j Ω t F(\Omega)e^{-j\Omega t} F(Ω)e−jΩt,将信号调制到光频上得到 F ( Ω ) e − j ( Ω + ω 0 ) t F(\Omega)e^{-j(\Omega+\omega_0) t} F(Ω)e−j(Ω+ω0)t,调制后的信号通过光波导变成 F ( Ω ) e − j ( Ω + ω 0 ) t e j β z F(\Omega)e^{-j(\Omega+\omega_0) t}e^{j\beta z} F(Ω)e−j(Ω+ω0)tejβz。对应的时域信号 y ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( Ω ) e j [ β z − ( Ω + ω 0 ) t ] d Ω y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\Omega)e^{j[\beta z-(\Omega+\omega_0) t]} d\Omega y(t)=2π1∫−∞+∞F(Ω)ej[βz−(Ω+ω0)t]dΩ此外不仅仅信号包络会产生相移,光载波 e − j ω t e^{-j\omega t} e−jωt也会产生相移。所以需要在接收端添加光频解调器 e j ( ω 0 t − β 0 z ) e^{j(\omega_0 t-\beta_0 z)} ej(ω0t−β0z)(为什么这里用 β 0 \beta_0 β0不用 β \beta β呢???) 于是输出的解调信号为 ϕ ( t ) = y ( t ) e j ( ω 0 t − β 0 z ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( Ω ) e j [ ( β − β 0 ) z − Ω t ] d Ω \phi(t)=\frac{y(t)}{e^{j(\omega_0 t-\beta_0 z)}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\Omega)e^{j[(\beta -\beta_0)z-\Omega t]} d\Omega ϕ(t)=ej(ω0t−β0z)y(t)=2π1∫−∞+∞F(Ω)ej[(β−β0)z−Ωt]dΩ此外从 y ( t ) y(t) y(t)的表达式也能看出,单个模式的传输特性不直接与模式场 ( e , h ) (e,h) (e,h)的分布有关。
可得到3条结论:
- 由于 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)的表达式中 ( β − β 0 ) (\beta -\beta_0) (β−β0)不为0(为0时,就是 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶反变换了),所以计算出的 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)有 ∣ ϕ ( t ) ∣ e j θ |\phi(t)|e^{j\theta} ∣ϕ(t)∣ejθ的形式。但是这个角度,不应该看成包络信号的相位,而应该看成光载波的附加相位。
- ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)与 f ( t ) f(t) f(t)并不成线性关系,不满足叠加原理。或者说输出光功率 P o u t P_{out} Pout与输入光功率 P i n P_{in} Pin不成线性关系。
- 输出信号(就是指的包络信号 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t))不直接与模式场的空间分布相关,它需要通过传播常数 β \beta β来起作用。所以如果模式场的空间变化并没有引起 β \beta β明显的变化就可以不考虑。
群时延
当传输常数 β ( ω ) \beta(\omega) β(ω)只考虑 β 0 + β 0 ′ ( ω − ω 0 ) \beta_0+\beta'_0(\omega-\omega_0) β0+β0′(ω−ω0)的影响时,得到 ϕ ( t ) = f ( t − β 0 ′ z ) \phi(t)=f(t-\beta'_0z) ϕ(t)=f(t−β0′z)。这表明,输出光的包络信号是输入光的包络信号在时间上的延迟,而且这种延时与波形形状无关。每传播单位长度的距离,就有 β 0 ′ \beta'_0 β0′的延时,所以称 β 0 ′ \beta'_0 β0′是单位长度上的群时延,记为 τ \tau τ.
光纤的这种时延特性可以用于制作延时器。通常群速度和相速度相差不大,所以1m长的光纤延迟5ns。
这是一个高斯信号传播的示意图(注意这是光信号的包络,称为波包)。由此可以看看出波包的传输速度为 v g = 1 τ = 1 β 0 ′ v_g=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{\beta_0'} vg=τ1=β0′1这个速度就是群速度。
相速度的定义为 v ϕ = c / n v_\phi=c/n vϕ=c/n,其中n为折射率。类似可以定义群折射率 N = c / v g N=c/v_g N=c/vg