参考博客：https://blog.csdn.net/S_999999/article/details/89298179
啥是中国剩余定理
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组(s) 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
证明：
以上都不是在说人话，以下我用人话解释一下
在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之 剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。
其实非常简单
主要分三步
- 找出三个数，例如：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
- 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
- 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。
模板
//中国剩余定理模板
typedef long long ll;
ll china(ll a[],ll b[],int n)//a[]为除数，b[]为余数
{
ll M=1,y,x=0;
for(int i=0;i<n;++i) //算出它们累乘的结果
M*=a[i];
for(int i=0;i<n;++i)
{
ll w=M/a[i];
ll tx=0;
int t=exgcd(w,a[i],tx,y); //计算逆元
x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M;
}
return (x+M)%M;
}中国剩余定理扩展——求解模数不互质情况下的线性方程组
普通的中国剩余定理要求所有的
这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程：
那么能够得到：
我们需要求出一个最小的x使它满足
那么x1和x2就要尽可能的小，于是我们用扩展欧几里得算法求出x1的最小正整数解，将它代回a1+m1x1，得到xx的一个特解x′，当然也是最小正整数解。
所以x的通解一定是x′加上lcm(m1,m2)∗k，这样才能保证x模m1和m2的余数是a1和a2。由此，我们把这个x′当做新的方程的余数，把lcm(m1,m2)当做新的方程的模数。（这一段是关键）