P4550 收集邮票（期望dp）

题意：

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。
唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，
每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。
但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

数据范围：n<=1e4

解法：

$$\begin{gathered} 设cnt[i]为已经有i种,到达n种的期望购买次数 \\ 设cost[i]为已经有i种,到达n种的期望花费 \\ 1.cnt[i]=i/n\ast cnt[i]+(n-i)/n\ast cnt[i+1]+1 \\ 整理得:cnt[i]=cnt[i+1]+n/(n-i) \\ 2.cost[i]=i/n\ast (cost[i]+cnt[i]+1)+(n-i)/n\ast (cnt[i+1]+cost[i+1]+1) \\ 整理得:cost[i]=i/(n-i)\ast cnt[i]+cost[i+1]+cnt[i+1]+n/(n-i) \\ cost[n]=cnt[n]=0,逆推出cost[0]即可 \end{gathered}$$

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxm=1e5+5;
double cnt[maxm];
double cost[maxm];
int n;
signed main(){
    
    
    cin>>n;
    cnt[n]=cost[n]=0;
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
    
    
        cnt[i]=cnt[i+1]+n*1.0/(n-i);
        cost[i]=i*1.0/(n-i)*cnt[i]+cost[i+1]+cnt[i+1]+n*1.0/(n-i);
    }
    printf("%.2f\n",cost[0]);
    return 0;
}

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