LeetCode 62. 不同路径 做题小结

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
   示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解题思路与算法

1 - 动态规划：

• 确定递推表达式：确定dp数组及其下标含义，dp[i][j]表示到达第i行第j列的方案数，dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
• dp数组的初始化：由于只能向右和向下走，故第一行和第一列任一位置只能有一种走法，故dp[i][0]=1,dp[0][i]=1;
• 由递推表达式得只需对每一行从左向右遍历

代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
		int[][] dp=new int[m][n];
		for(int i=0;i<m;i++) {
			dp[i][0]=1;
		}
		for(int i=0;i<n;i++) {
			dp[0][i]=1;
		}
		for(int i=1;i<m;i++) {
			for(int j=1;j<n;j++) {
				dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
			}
		}
		return dp[m-1][n-1];
    }
}

2- 深搜递归
与求二叉树叶子数量本质相同

代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
		return dfs(1,1,m,n);
    }
    public int dfs(int i,int j,int m, int n) {
		if(i>m||j>n) {
			return 0;
		}
		if(i==m && n==j) {
			return 1;
		}
		return dfs(i+1, j, m, n) +dfs(i, j+1, m, n);
    }
}

来分析一下时间复杂度，这个深搜的算法，其实就是要遍历整个二叉树。

这颗树的深度其实就是m+n-1（深度按从1开始计算）。

那二叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树（其实没有遍历整个满二叉树，只是近似而已）

所以上面深搜代码的时间复杂度为O(2^(m + n - 1) - 1)，可以看出，这是指数级别的时间复杂度，是非常大的。

参考：https://mp.weixin.qq.com/s/MGgGIt4QCpFMROE9X9he_A