算法笔记【2】 并查集

算法笔记【2】 并查集

并查集简介

并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

• 合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
• 查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

当然，这样的定义未免太过学术化，看完后恐怕不太能理解它具体有什么用。所以我们先来看看并查集最直接的一个应用场景：亲戚问题。

题目背景
若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。
题目描述
规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。
输入格式
第一行：三个整数n,m,p，（n<=5000,m<=5000,p<=5000），分别表示有n个人，m个亲戚关系，询问p对亲戚关系。
以下m行：每行两个数Mi，Mj，1<=Mi，Mj<=N，表示Mi和Mj具有亲戚关系。
接下来p行：每行两个数Pi，Pj，询问Pi和Pj是否具有亲戚关系。
输出格式
P行，每行一个’Yes’或’No’。表示第i个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

这其实是一个很有现实意义的问题。我们可以建立模型，把所有人划分到若干个不相交的集合中，每个集合里的人彼此是亲戚。为了判断两个人是否为亲戚，只需看它们是否属于同一个集合即可。因此，这里就可以考虑用并查集进行维护了。

并查集的引入

并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻，把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻，看看并查集是如何运作的。

最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）

现在1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体谁赢暂时不重要），那么3号就认1号作帮主*（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）*。

现在2号想和3号比武*（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）*。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。

现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：

现在假设2号想与6号比，跟刚刚说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架（帮主真辛苦啊）。1号胜利后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。

好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：

用这种方法，我们可以写出最简单版本的并查集代码。

初始化

class DisjointSetUnion {
    
    
    int[] f;

    public DisjointSetUnion(int n) {
    
    
        this.f = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            this.f[i] = i;
        }
    }
}

假如有编号为1, 2, 3, …, n的n个元素，我们用一个数组f[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这是可行的）。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。

查询

public int find(int x) {
    
    
    return f[x] == x ? x : find(f[x]);
}

我们用递归的写法实现对代表元素的查询：一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。

合并

public void merge(int i, int j){
    
    
    fa[find(i)] = find(j);
}

合并操作也是很简单的，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。当然也可以将后者的父节点设为前者，这里暂时不重要。本文末尾会给出一个更合理的比较方法。

路径压缩

最简单的并查集效率是比较低的。例如，来看下面这个场景：

现在我们要merge(2,3)，于是从2找到1，fa[1]=3，于是变成了这样：

然后我们又找来一个元素4，并需要执行merge(2,4)：

从2找到1，再找到3，然后fa[3]=4，于是变成了这样：

大家应该有感觉了，这样可能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。

怎么解决呢？我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短，最好只需要一步，像这样：

其实这说来也很好实现。只要我们在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时，我们就可以省很多事。这用递归的写法很容易实现：

public int find(int x) {
    
    
    return f[x] == x ? x : (f[x] = find(f[x]));
}

注意赋值运算符=的优先级没有三元运算符?:高，这里要加括号。

路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。

按秩合并

有些人可能有一个误解，以为路径压缩优化后，并查集始终都是一个菊花图（只有两层的树的俗称）。但其实，由于路径压缩只在查询时进行，也只压缩一条路径，所以并查集最终的结构仍然可能是比较复杂的。例如，现在我们有一棵较复杂的树需要与一个单元素的集合合并：

假如这时我们要merge(7,8)，如果我们可以选择的话，是把7的父节点设为8好，还是把8的父节点设为7好呢？

当然是后者。因为如果把7的父节点设为8，会使树的深度（树中最长链的长度）加深，原来的树中每个元素到根节点的距离都变长了，之后我们寻找根节点的路径也就会相应变长。虽然我们有路径压缩，但路径压缩也是会消耗时间的。而把8的父节点设为7，则不会有这个问题，因为它没有影响到不相关的节点。

这启发我们：我们应该把简单的树往复杂的树上合并，而不是相反。因为这样合并后，到根节点距离变长的节点个数比较少。

我们用一个数组rank[]记录每个根节点对应的树的深度（如果不是根节点，其rank相当于以它作为根节点的子树的深度）。一开始，把所有元素的rank（秩）设为1。合并时比较两个根节点，把rank较小者往较大者上合并。路径压缩和按秩合并如果一起使用，时间复杂度接近 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xJkeupH4-1611212170259)(https://www.zhihu.com/equation?tex=O%28n%29)] ，但是很可能会破坏rank的准确性。

值得注意的是，按秩合并会带来额外的空间复杂度，可能被一些卡空间的毒瘤题卡掉。

初始化（按秩合并）

class DisjointSetUnion {
    
    
    int[] f;
    int[] rank;

    public DisjointSetUnion(int n) {
    
    
        	this.rank = new int[n];
            this.f = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
                this.f[i] = i;
                this.rank[i] = 1;
            }
    }
}

合并（按秩合并）

inline void merge(int i, int j)
{
    
    
    int x = find(i), y = find(j);    //先找到两个根节点
    if (rank[x] <= rank[y])
        fa[x] = y;
    else
        fa[y] = x;
    if (rank[x] == rank[y] && x != y)
        rank[y]++;                   //如果深度相同且根节点不同，则新的根节点的深度+1
}

为什么深度相同，新的根节点深度要+1？如下图，我们有两个深度均为2的树，现在要merge(2,5)：

这里把2的父节点设为5，或者把5的父节点设为2，其实没有太大区别。我们选择前者，于是变成这样：

显然树的深度增加了1。另一种合并方式同样会让树的深度+1。

并查集的应用

大家看出这道题和并查集的关系了吗？

这是二维版本，题目中的三维版本是类似的

大家看看上面这张图，是不是看出一些门道了？我们把所有空洞划分为若干个集合，一旦两个空洞相交或相切，就把它们放到同一个集合中。

我们还可以划出2个特殊元素，分别表示底部和顶部，如果一个空洞与底部接触，则把它与表示底部的元素放在同一个集合中，顶部同理。最后，只需要看顶部和底部是不是在同一个集合中即可。这完全可以通过并查集实现。来看代码：

public class Solution3958 {
    
    

    public static void main(String[] args) {
    
    
        // 高度
        int h = 10;
        // 半径
        int r = 3;
        // 圆点
        int[][] points = new int[][]{
    
    {
    
    1, 3, 2}, {
    
    1, 3, 3}, {
    
    2, 3, 4}, {
    
    3, 4, 4}, {
    
    3, 5, 12}};
        minCostConnectPoints(h, r, points);

    }

    public static void minCostConnectPoints(int h, int r, int[][] points) {
    
    
        //圆的个数
        int n = points.length;
        DisjointSetUnion disjointSetUnion = new DisjointSetUnion(n + 2);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            if (points[i][2] <= r) {
    
    
                // 与底部接触的圆点
                disjointSetUnion.unionSet(i, n);
            }
            if (points[i][2] + r >= h) {
    
    
                // 与顶部接触
                disjointSetUnion.unionSet(i, n + 1);
            }
        }

        // 找出所有相连的圆
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
    
    

                if (nextTo(points[i][0], points[i][1], points[i][2], points[j][0], points[j][1], points[j][2], r)) {
    
    
                    disjointSetUnion.unionSet(i, j);
                }

            }
        }

        System.out.println(disjointSetUnion.find(n) == disjointSetUnion.find(n + 1) ? "Yes" : "No");

    }

    /**
     * 是否相交或者相切
     */
    public static boolean nextTo(int x, int y, int z, int x1, int y1, int z1, int r) {
    
    
        return (x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1) + (z - z1) * (z - z1) <= 4 * r * r;
    }

    static class DisjointSetUnion {
    
    
        int[] f;
        int[] rank;
        int n;

        public DisjointSetUnion(int n) {
    
    
            this.n = n;
            this.rank = new int[n];
            Arrays.fill(this.rank, 1);
            this.f = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
                this.f[i] = i;
            }
        }

        /**
         * 找到传入x节点的root节点
         *
         * @param x 顶点
         * @return root节点
         */
        public int find(int x) {
    
    
            return f[x] == x ? x : (f[x] = find(f[x]));
        }

        /**
         * 判断传入的顶点是否在图中形成回路
         */
        public void unionSet(int x, int y) {
    
    
            // 找到 x y 的根节点位置 fx fy
            int fx = find(x), fy = find(y);

            // 比较fx和fy两个根节点的深度 把小的父节点设置给大的一个
            if (rank[fx] <= rank[fy]) {
    
    
                f[fx] = fy;
            } else {
    
    
                f[fy] = fx;
            }
            // 应为两个树的深度相同，所以合并后父节点的树深度会增加1
            if (rank[fx] == rank[fy] && fx != fy) {
    
    
                rank[fy]++;
            }
        }
    }
}

并查集的应用还有很多，例如最小生成树的Kruskal算法等。这里就不细讲了。总而言之，凡是涉及到元素的分组管理问题，都可以考虑使用并查集进行维护。

--------------最后感谢大家的阅读，愿大家技术越来越流弊！--------------

--------------也希望大家给我点支持，谢谢各位大佬了！！！--------------