一、关系的第一范式和第二范式

1.1 关系的1NF

1.1.1 概念

若关系模式 $R(U)$ 中关系的每个分量都是不可分的数据项(值，原子)，则称 $R(U)$ 属于第一范式，记为： $R(U)\in 1NF$
示例

1.1.2 不符合1NF的处理

将非1NF转换为1NF情况
示例

1.2 关系的2NF

1.2.1 概念

若 $R(U)\in 1NF$ 且U中的每一非主属性完全函数依赖于候选键，则称 $R(U)$ 属于第二范式，记为： $R(U)\in 2NF$

1.2.2 练习

二、关系的第3范式和Boyce-Codd范式

2.1 关系的3NF

2.1.1概念

若 $R(U,F)\in 2NF$ 且R中不存在这样的情况：候选键X，属性组 $Y\subseteq U$ 和非主属性A，且 $A\not\in X$ ， $A \not\in Y$ ， $Y \not\subset X$ ， $Y \not\rightarrow X$ ，使得 $X\rightarrow Y$ ， $Y\rightarrow A$ 成立。满足以上条件则称 $R(U)$ 属于第三范式，记为： $R(U)\in 3NF$ 。
第三范式消除了非主属性对候选键的传递依赖

2.1.2 练习

关系模式设计如满足第3范式，则一定能满足第2范式；反之不然。

2.2 关系的BCNF

2.2.1 概念

若 $R(U,F)\in1NF$ ，若对于任何 $X\rightarrow Y \in F$ (或 $X\rightarrow A \in F$ )，当 $Y \not\subset X$ (或 $A \not\in X$ )时，X比含有候选键，则称 $R(U)$ 属于Boyce-Codd范式，记为： $R(U)\in BCNF$ 。
示例

[定理]若 $R(U,F)\in BCNF$ ，则 $R(U,F)\in 3NF$ 。
有传递依赖额或者说不满足3NF的，也一定不满足BCNF。
关系模式分解成BCNF

三、多值依赖

3.1 多值依赖的定义

对，设，若对的任一关系r，若元组，，，则必有使得：
- $u[X]=v[X]=t[X]=s[X]$
- $u[Y]=t[Y]$ 且 $u[U-X-Y]=S[U-X-Y]$
- $v[Y]=s[Y]$ 且 $v[U-X-Y]=t[U-X-Y]$
均成立，则称Y多值依赖于X，或说X多值决定Y，记作 $X\rightarrow \rightarrow Y$

3.2 多值依赖的特性

直观的，对于X给定值，Y有一组值与之对应(0或n个)且这组Y值不以任何方式于U-X-Y中属性值相联系，有 $X\rightarrow \rightarrow Y$
若交换t,s的Y值而得到的新元组仍在r中，则 $X\rightarrow \rightarrow Y$
X，Y不必不相交，u,v可以与t,s相同
函数依赖是多值依赖的特例
令 $Z=U-X-Y$ ，有 $X\rightarrow \rightarrow Z$ ，若 $Z=\varnothing$ ，则必有 $X\rightarrow \rightarrow Y$

3.3 多值依赖的公理

3.3.1 多值依赖的Armstrong公理

[Armstrong's Axioms A4~A8]关于多值依赖的公理，设 $R(U),X,Y \subseteq U$ ，对于 $R(U)$ 的任一关系r，有以下规则：
- [A4]多值依赖互补律或对称性：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ ，则 $X\rightarrow \rightarrow U-X-Y$
- [A5]多值依赖的增广律：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ 且 $V\subseteq W$ ，则 $WX \rightarrow \rightarrow VY$
- [A6]多值依赖传递律：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ ， $Y\rightarrow \rightarrow Z-Y$
- [A7]若 $X\rightarrow Y$ ，则 $X\rightarrow \rightarrow Y$
- [A8]若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ ， $Z \subseteq Y$ 且对于某个与Y不相交的W有 $W\rightarrow Z$ ， $W\cap Y=\varnothing$ ，则有 $X\rightarrow Y$

3.3.2 关于多值依赖的推论

[引理7]：由Armstrong's Axioms可推出如下结论。
- 多值依赖合并律：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ 且 $Y\rightarrow \rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow \rightarrow YZ$
- 多值依赖伪传递律：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ 且 $WY\rightarrow \rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow \rightarrow Z-WY$
- 混合伪传递律：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ ， $XY\rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow Z-Y$
- 多值依赖分解律：若 $X\rightarrow \rightarrow Y$ ， $X\rightarrow \rightarrow Z$ 则 $X\rightarrow \rightarrow Y-Z$ , $X\rightarrow \rightarrow Z-Y$ ， $X\rightarrow \rightarrow Y\cap Z$ 。

四、关系的第4范式和弱第4范式

4.1 关系的4NF

设 $R(U)\in1NF$ ，D是其上的一组依赖(函数依赖，多值依赖)，对任意 $X\rightarrow \rightarrow Y\in D$ ，若 $Y \neq \varnothing ,Y\not\subset X,XY\neq U$ ，必有X为超键，则称 $R(U)$ 满足第四范式，记为： $R(U)\in 4NF$ 。
第四范式消除了非主属性对候选键以外属性的多值依赖。也就是说，如果存在多值依赖，则一定依赖于候选键
[定理]若 $R\in 4NF$ ，则必有 $R\in BCNF$ 。
[定理]若R上仅存在函数依赖，则若有 $R\in BCNF$ 即有 $R\in4NF$ ，反之，若 $R\in4NF$ ，也有 $R\in BCNF$

4.2 关系的W4NF

设 $R(U)\in 3NF$ ，若R上的任何互补多值依赖 $X\rightarrow \rightarrow Y(XY\neq U,Y-X\neq \varnothing )$ 和 $X\rightarrow \rightarrow (R-X-Y)$ 中必有一个是函数依赖，则称R是弱第四范式的，记为 $R\in W4NF$
注:W4NF不一定是BCNF, 反之亦然。

关系模式设计之规范形式

一、关系的第一范式和第二范式

1.1 关系的1NF

1.1.1 概念

1.1.2 不符合1NF的处理

1.2 关系的2NF

1.2.1 概念

1.2.2 练习

二、关系的第3范式和Boyce-Codd范式

2.1 关系的3NF

2.1.1概念

2.1.2 练习

2.2 关系的BCNF

2.2.1 概念

三、多值依赖

3.1 多值依赖的定义

3.2 多值依赖的特性

3.3 多值依赖的公理

3.3.1 多值依赖的Armstrong公理

3.3.2 关于多值依赖的推论

四、关系的第4范式和弱第4范式

4.1 关系的4NF

4.2 关系的W4NF

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