一、函数依赖

1.1 函数依赖的定义

函数依赖：设 $R(U)$ 是属性集合 $U=\left \{ A_1,A_2,...,A_n \right \}$ 上的一个关系模式，X，Y上U上的两个子集，若对 $R(U)$ 的任意一个可能的关系r，r中不可能有两个元组满足在X中的属性值相等而在Y中的属性值不等，则称“X函数决定Y”或“Y函数依赖于X”，计作 $X\rightarrow Y$
示例

在 $R(U)$ 中，若 $X\rightarrow Y$ 并且对于X的任何真子集X'都有 $X' \not\rightarrow Y$ ，则称Y完全函数依赖于X，记为： $X \overset{f}{\rightarrow} Y$ ，否则称Y部分函数依赖于X，记为： $X\overset{p}{\rightarrow} Y$
示例

在 $R(U)$ 中，若 $X\rightarrow Y$ ， $Y\rightarrow Z$ 且 $Y \not\subset X$ ， $Z \not\subset Y$ ， $Z \not\subset X$ ， $Y \not\rightarrow X$ ，则称Z传递函数依赖于X
示例

候选键：设K为 $R(U)$ 中的属性或属性组合，若 $K\overset{f}{\rightarrow} U$ ，则称K为 $R(U)$ 上的候选键。
说明
- 可任选一候选键作为R的主键
- 包含在任一候选键中的属性称主属性，其他属性称非主属性
- 若K是R的一个候选键， $S\supset K$ ，则称S为R的一个超键
示例

设F是关系模式 $R(U)$ 中的一个函数依赖集合，X，Y是R的属性子集，如果从F中的函数依赖能够推导出 $X\rightarrow Y$ ，则称F逻辑蕴涵 $X\rightarrow Y$ ，或称 $X\rightarrow Y$ 是F的逻辑蕴涵。记作： $F\models X\rightarrow Y$ 。
说明
- 设F是关系模式 $R(U)$ 的函数依赖集合， $X\rightarrow Y$ 是一个函数依赖，若对R中的每个满足F的关系r，能够用形式逻辑推理的方法推出r也满足 $X\rightarrow Y$ ，则称 $F\models X\rightarrow Y$ 。
- 若满足F的每个关系均满足 $X\rightarrow Y$ ，则说F逻辑蕴涵 $X\rightarrow Y$ 。

设是属性集上的一个关系模式，F为的一组函数依赖，记为：，则有如下的规则成立：
- [A1]自反律：若 $Y\subseteq X\subseteq U$ ，则 $X\rightarrow Y$ 被F逻辑蕴涵。
- [A2]增广律：若 $X\rightarrow Y\in F$ ，且 $Z\subseteq U$ ，则 $XZ\rightarrow YZ$ 被F逻辑蕴涵。
- [A3]传递律：若 $X\rightarrow Y\in F$ ，且 $Y\rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow Z$ 被F逻辑蕴涵。
[引理1]Armstrong's Axiom规则A1, A2, A3是有效的(正确的)。
[引理2]由Armstrong‘s Axiom可推出如下结论:
- 合并律：若 $X\rightarrow Y$ 且 $X\rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow YZ$ 。
- 伪传递律：若 $X\rightarrow Y$ 且 $WY\rightarrow Z$ ，则 $XW\rightarrow Z$ 。
- 分解律：若 $X\rightarrow Y$ 且 $Z\subseteq Y$ ，则 $X\rightarrow Z$ 。
[引理3]如果 $A_1,A_2,...A_3$ 是属性，则 $X\rightarrow A_1,A_2,...,A_n$ 当且仅当对每个 $A_i$ 有 $X\rightarrow A_i(1\leq i\leq n)$ 。

对 $R\left ( U,F \right )$ ， $X\subseteq U$ ， $U=\left \{ A_1,A_2,...,A_n \right \}$ ，令：

若F满足以下条件，则称F为最小覆盖或最小依赖集
- F中每个函数依赖的右部都是单个属性
- 对任何 $X\rightarrow A\in F$ ，有 $F-\left \{ X\rightarrow A \right \}$ 不等价于F
- 对任何 $X\rightarrow A\in F$ ， $Z\subset X$ ， $\left ( F-\left \{ X\rightarrow A \right \} \right )\cup \left \{ Z\rightarrow A \right \}$ 不等价于F
[定理]：每个函数依赖集F都有等价的最小覆盖 $F^{+}$