【训练题18：状压DP】炮兵阵地 | 洛谷 P2704

炮兵阵地 | 洛谷 P2704 | NOI2001

难度

$\color{blue}提高+/省选-$
个人认为是道状压好题。

题意

在这里插入图片描述
给一个二维矩阵。你可以在 $P$ 的地方放炮兵，其攻击范围为黑色十字
问你：最多放多少个炮兵，他们相互之间不会攻击到？

数据范围

$N\le 100\\M\le 10$

思路

我们第一时间联想到一些状压DP的题目（比如互不侵犯）
但是这题的十字范围更大，且一行的摆放状态会对两行都产生影响。
我们会设 $d p [i] [j] [k]$ 表示第 $i$ 行放置状态为 $j$ ，且上一行放置状态为 $k$ 的兵最多数量
容易得到一般的转移方程 $dp[i][j][k]=\underset{p}{\max}\Big\{dp[i-1][k][p]+cnt_j\Big\}$
表示这一行摆放状态为 $j$ ，上一行摆放状态为 $k$ ，上上行摆放转改为 $p$ 的转移。
$cnt_j$ 表示这个状态有多少个兵。
行合法性要求：每一行的兵都在 $P$ 上，每一行相邻的两个兵的距离大于 $2$
列合法性要求： $j\&k=0$ 、 $j\&p=0$ 、 $k\&p=0$ ，并且这几行都是合法的。

但是！

考虑一下，每一行最多 $2^{10}=1024$ 个状态，然后行最多 $100$
时间复杂度 $O(N(2^{10})^3)=O(1e11)$
空间复杂度 $O(N(2^{10})^2)=O(1e8)$

这不是炸裂？

考虑再度压缩

由于每一行的合法性判断是 相邻两个的距离大于2
我们使用代码判断为 $x\&(x<<1)$ 和 $x\&(x<<2)$
但是有没有想过每一行的合法性条件其实是很少的？
使用代码跑过之后，易得：每一行十个元素下，最多60种可能的状态

我们使用这些状态去转移，而不是从头算这 $2^{10}$ 种状态有哪些合法

时间复杂度 $O(N\times60^3)=O(2e7)$
空间复杂度 $O(N\times60^2)=O(4e5)$

空间还能优化

考虑状态转移方程，我们第一维每次需要用到的是 $d p [i] 、 d p [i - 1] 、 d p [i - 2]$
这样，可以使用滚动数组优化
空间复杂度 $O(3\times60^2)=O(10800)$

状压判断：每行地形合法性

我们把每一行的 $H$ 看做 $1$ ， $P$ 看做 $0$
这样，每一行的 山脉也被我们状态压缩成hil[x]
我们只要判断 $j\&hil[x]$ 是否为 $0$ 即可。

其他一些注意点

答案为所有的 $d p$ 取 $\max$
前面两行，与其他行不同，需要单独拎出来。
第二行特判的要求是你的总行数大于等于 $2$

补充：快速算一个二进制数字有多少位为1

注意到 x&(-x) 表示 $x$ 的lowbit。
我们每次都减去它即可。

ll shu(int x){
    
    
    ll ans = 0;
    while(x){
    
    
        ans++;
        x -= x & (-x);
    }
    return ans;
}

核心代码

时间复杂度 $O(N\times60^3)=O(2e7)$ 有许多非法性剪枝，不会跑满
空间复杂度 $O(3\times60^2)=O(10800)$

$Times:330(ms)\\Memory:772(KB)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 2e5+50;

ll dp[5][111][111];
ll cnt[1111];
ll hil[111];
string ss[111];

ll shu(int x){
    
    
    ll ans = 0;
    while(x){
    
    
        ans++;
        x -= x & (-x);
    }
    return ans;
}
int N,K,ed;
bool check(int x){
    
    
    if(x & (x << 1))return false;
    if(x & (x << 2))return false;
    return true;
}
vector<int>V;
int main()
{
    
    
    cin >> N >> K;
    for(int i = 0;i < N;++i){
    
    
        cin >> ss[i];
        int t = 0;
        for(int j = 0;j < ss[i].size();++j){
    
    
            if(ss[i][j] == 'H')t += (1 << j);
        }
        hil[i] = t;
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 0;i < (1 << K);++i){
    
    
        if(check(i)){
    
    
            V.push_back(i),cnt[i] = shu(i);
            if(!(i & hil[0]))dp[0][V.size() - 1][0] = cnt[i],ans = max(ans,cnt[i]);
        }
    }
    ed = V.size();
    if(N >= 2)
    for(int i = 0;i < ed;++i){
    
    
        int tx = V[i];
        if(tx & hil[0])continue;
        for(int j = 0;j < ed;++j){
    
    
            int ty = V[j];
            if(ty & hil[1])continue;
            if(tx & ty)continue;

            dp[1][j][i] = dp[0][i][0] + cnt[ty];
            ans = max(ans,dp[1][j][i]);
        }
    }

    for(int i = 2;i < N;++i){
    
    
        for(int j = 0;j < ed;++j)
        for(int k = 0;j < ed;++j)
            dp[i%3][j][k] = 0;

        for(int j = 0;j < ed;++j){
    
    
            int tx = V[j];
            if(tx & hil[i])continue;
            for(int k = 0;k < ed;++k){
    
    
                int ty = V[k];
                if(ty & hil[i-1])continue;
                if(tx & ty)continue;

                for(int p = 0;p < ed;++p){
    
    
                    int tp = V[p];
                    if(tp & hil[i-2])continue;
                    if(tp & tx)continue;
                    if(tp & ty)continue;

                    dp[i % 3][j][k] = max(dp[i % 3][j][k],dp[(i-1 +3)%3][k][p] + cnt[tx]);
                    ans = max(ans,dp[i%3][j][k]);
                }
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

【训练题18：状压DP】炮兵阵地 | 洛谷 P2704 | NOI2001

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题意