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1.题目介绍
此题是一个完全背包问题，是一个经典的动态规划问题，想要理解完全背包的状态转移过程，首先需要理解01背包。所以，下面先介绍01背包和完全背包。
2.01背包
3.完全背包
具体代码如下：
int DP() {
for(int i = 1; i <= M; i++)
f[0][j] = -inf; // 负无穷，inf 可以为 1e8
f[0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = 0; j <= M; j++)
if(j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);
else
f[i][j] = f[i-1][j];
int ans = 0;
for(int i = 0; i <= M; i++)
ans = max(ans, f[N][i]);
return ans;
}我们还可以将上述代码优化为：
int DP() {
for(int i = 1; i <= M; i++)
f[j] = -inf; // 负无穷，inf 可以为 1e8
f[0] = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = v[i]; j <= M; j++)
f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
int ans = 0;
for(int i = 0; i <= M; i++)
ans = max(ans, f[i]);
return ans;
}4.本题解法
如果我们将面值看作是物品，面值金额看成是物品的重量，每件物品的价值均为1，这样此题就是是一个恰好装满的完全背包问题了。不过这里不是求最多装入多少物品而是求最少，我们只需要将2.2节的转态转移方程中的max改成min即可，又由于是恰好装满，所以除了dp[0]，其他都应初始化为INT_MAX。完整代码如下：
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int>dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for(int i = 1; i <= coins.size(); i++)
for(int j = coins[i-1]; j <= amount; j++){
// 下行代码会在 1+INT_MAX 时溢出
// dp[j] = min(dp[j], 1 + dp[j - coins[i-1]]);
if(dp[j] - 1 > dp[j - coins[i-1]])
dp[j] = 1 + dp[j - coins[i-1]];
}
return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
}注意上面1 + dp[j - coins[i-1]]会存在溢出的风险，所以我们换了个写法。