MATLAB信号处理---学习小案例(8)---Z变换概述

Z变换的定义
序列$x(n)$的Z变换(简称ZT)定义为
$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)z^{-n}$
上式称为双边Z变换
如果x(n)的非零区间为$(-\infty ,0]$或者$(0,+\infty ]$，则上式可变为
$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{0}x(n)z^{-n}$
$X(z)={\sum }_0^{+\infty }x(n)z^{-n}$
此时，称为序列x(n)的单边Z变换
序列的ZT存在条件为
$|X(z)|=|{\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)z^{-n}|⩽{\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)z^{-n}|={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)||z^{-n}|<+\infty$
满足上式的z取值范围称为Z变换的收敛域(Region of Convergence,ROC),它通常为Z平面上的一个环状域，即$R_{x^{-}}<|z|<R_{x^{+}}$
Z变换的收敛域
序列Z变换的收敛域，与序列的形态有关。即同一个Z变换的表达式，不同的收敛域，确定了不同的序列形态。下面根据序列形态不同，分别讨论其收敛域

对于任意给定的序列x(n)，能使$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)z^{-n}$收敛的所有z值集合为收敛域。即满足${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)z^{-n}|<\infty$
不同的x(n)的Z变换，收敛域不同，但可能对应于相同的Z变换，故在确定Z变换时，必须指明收敛域

• 有限长序列
  有限长序列的描述函数是：$x(n)=\{\begin{array}{l}x(n)，n_1⩽n⩽n_2\\ 0,其他\end{array}$，其Z变换为$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}$，因此Z变换式是有限项之和，只有级数的每一项有界，则级数就收敛，收敛域为$0<|z|<\infty$
• 右边序列
  右边序列的描述函数是$x(n)=\{\begin{array}{l}x(n)，n_1⩽n\\ 0,其他\end{array}$，其Z变换为$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{-n}$，因此Z变换的样式是无限项之和，当$n_1⩾n$，由根值判别法有${\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{|x(n)z^{-n}|}<1$，所以此时收敛域为$|z|>{\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{|x(n)|}=R_1$，当$n_1<0$时，此时级数全收敛，所以右边序列的收敛域为$R_1<|z|<\infty$
• 左边序列
  左边序列的描述函数为$x(n)=\{\begin{array}{l}x(n)，n⩽n_2\\ 0,其他\end{array}$，其Z变换为$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{n_2}x(n)z^{-n}={\sum }_{n=-n_2}^{\infty }x(-n)z^n$，当$n_2<0$时，由根值判别法有${\lim }_{n\to +\infty }\sqrt[n]{|x(-n)z^n|}<1$，由此求得的收敛域为$|z|<{\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|x(-n)|}=R_2$，当$n_2>0$时，此时相当于增加了一个$n_2>0$的有限长序列，还应除去原点，，所以在左边序列的收敛域为$0<|z|<R_2$
• 双边序列
  双边序列的描述函数为$x(n)=x(n)[u(-n-1)+u(n)]$，其Z变换为$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}={\sum }_{n=-\infty }^{-1}x(n)z^{-n}+{\sum }_{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$，因为${\sum }_{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$的收敛域为：$|z|>R_1$，${\sum }_{n=-\infty }^{-1}x(n)z^{-n}$的收敛域为：$|z|<R_2$，所以双边序列的收敛域为$R_1<|z|<R_2$

参考文献：

1. 《精通MATLAB信号处理》，沈再阳编写，清华大学出版社