MATLAB信号处理---学习小案例(11)---离散系统中的Z域描述

线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即${\sum }_{i=0}^N{a}_{i}y(n-i)={\sum }_{j=0}^M{b}_{j}x(n-j)$，其中，$y(k)$为系统的输出序列，$x(k)$为输出序列。将上式两边进行Z变换得到$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{{\sum }_{j=0}^M{b}_j{z}^{-j}}{{\sum }_{i=0}^N{a}_i{z}^{-i}}=\frac{B(z)}{A(z)}$，因式分解后有$H(z)=C\frac{{\prod }_{j=1}^M(z-q_j)}{{\prod }_{i=1}^N(z-p_i)}$，其中，C为常数，$q_j(j=1,2,\dots \dots ，M)$为$H(z)$的M个零点，$p_i(i=1,2,\dots \dots ，N)$为$H(z)$的N个零点。系统函数$H(z)$的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

离散系统函数频域分析

离散系统的频率响应$H(e^{jw})$对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列$x(n)=Asin(w_{0}n)u(n)$，则系统的稳态响应为$y_{ss}(n)=A|H(e^{jw})|sin[wn+\phi (w)]u(n)$

定义离散系统的频率响应为$H(e^{jw})=H(z){|}_{z=e^{jw}}=|H(e^{jw})|e^{j\phi (w)}$，其中，$|H(e^{jw})|$为离散系统的幅频特性；$\phi (w)$为离散系统的相频特性；$H(e^{jw})$是以$2\pi$为周期的周期函数，只要确定$H(e^{jw})$在$|w|⩽\pi$范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

利用几何矢量求解离散系统的频响，设$e^{jw}-p_i=A_i{e}^{j{\theta }_i}，e^{jw}-q_j=B_j{e}^{j{\psi }_j}$，那么，离散系统的频率响应为$H(e^{jw})=\frac{{\prod }_{j=1}^M{B}_j{e}^{j({\psi }_1+{\psi }_2+\dots \dots +{\psi }_M)}}{{\prod }_{i=1}^N{A}_i{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2+\dots \dots +{\theta }_N)}}=|H(e^{jw})|e^{j\phi (w)}$，那么，系统的幅频特性和相频特性分别为$H(e^{jw})=\frac{{\prod }_{j=1}^M{B}_j}{{\prod }_{i=1}^N{A}_i}，\phi (w)={\prod }_{j=1}^M{\psi }_j-{\prod }_{i=1}^N{\theta }_i$

利用MATLAB求解频率响应的过程如下：

1. 根据系统函数H(z)定义分子、分母多项式系统向量B和A
2. 调用函数ljdt求出H(z)的零极点，并绘出零极点图
3. 定义Z平面单位圆上的k个频率分点
4. 求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点的距离
5. 求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角
6. 求出系统的$|H(e^{jw})|$和$\varphi(w)$
7. 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线

在MATLAB中，函数freqz用于求离散时间系统频响特性，该函数的调用方法如下：

[H,w]=freqz(B,A,N)
[H,w]=freqz(B,A,N,'whole')

其中，B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量，N为正整数，默认值为512；返回值w包含$[0,\pi ]$范围内的N个频率等分点，返回值H则是离散时间系统频率响应$H(e^{jw})$在$[0,\pi ]$范围内N个频率处对应的值。

例：绘制离散系统的频响曲线$H(z)=\frac{z-1.3}{z}$

运行程序如下：

B=[1 -1.3];
A=[1 0];
[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');
Hf=abs(H);
Hx=angle(H);
clf;
subplot(121);
plot(w,Hf);
title('离散系统幅频特性曲线');
xlabel('频率');
ylabel('幅度');
grid on;
subplot(122);
plot(w,Hx);
xlabel('频率');
ylabel('幅度');
grid on;
title('离散系统相频特性曲线');

结果：

例：绘制离散系统的幅频响应和相频响应

clear all;close all;clc;
w=(-4*pi:0.001:4*pi) + eps;
X=1./(1-0.6*exp(-j*w));
subplot(211);
plot(w/pi,abs(X),'lineWidth',2);
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('|H(e^j^\omega)|');
title('幅度响应');
axis([-3.2 3.2 0.5 2.2]);
grid;
subplot(212);
plot(w/pi,angle(X),'lineWidth',2);
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('\theta(\omega)');
title('相频响应');
axis([-3.2 3.2 -0.6 0.6]);
grid;
set(gcf,'color','w');

运行结果：

离散系统函数零点分析
离散时间系统的函数定义为$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$
如果系统函数的有理函数表达式为$H(z)=\frac{b_1{z}^m+b_2{z}^{m-1}+\dots \dots +b_{m}z+b_{m+1}}{a_1{z}^n+a_2{z}^{n-1}+\dots \dots +a_{n}z+a_{n+1}}$
在MATLAB中，系统函数的零极点可以通过函数roots得到，也可以借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为

[Z,P,K] = tf2zp(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将H(z)的有理分式表示为零极点增益形式$H(z)=k\frac{(z-z_1)(z-z_2)\dots \dots (z-z_m)}{(z-p_1)(z-p_x)\dots \dots (z-p_n)}$

函数zplane用于绘制H(z)的零极点图，该函数的调用格式为

zplane(z,p)

绘制出列向量z中的零点(以符号“。”表示)和列向量p中的极点(以符号“X”表示)，以及参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。如果z和p为矩阵，则会以不同的颜色绘出z和p各列中的零点和极点

例：已知某离散系统的系统函数为$H(z)=\frac{2z+1}{3z^5-2z^4+1}$
试用MATLAB求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，判断该系统是否稳定。用函数roots求得$H(z)$的零极点后，就可以用函数plot绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt，同时还绘制出了单位圆。

子程序如下：

function ljdt(A,B)
p = roots(A); %求系统的极点
q = roots(B); %求系统的零点
p = p'; %将极点列向量转置为行向量
q = q'; %将零点列向量转置为行向量
x = max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围
x = x + 0.1;
y = x; %确定横坐标范围
clf
hold on
axis([-x x -y y]); %确定坐标轴的显示范围
w = 0:pi/300:2*pi;
t = exp(i*w);
plot(t) %画单位圆
axis('square')
plot([-x x],[0 0]); %画横坐标轴
plot([0 0],[-y y]); %画纵坐标轴
text(0.1,x,'jIm[z]');
text(y,1/10,'Re[z]');
plot(real(p),imag(p),'x'); %画极点
plot(real(q),imag(q),'o');
title('零极点图');
hold off

运行程序如下：

a = [3 -2 0 0 0 1];
b = [2 1];
ljdt(a,b);
p = roots(a)
q = roots(b)
pa = abs(p)

运行结果：

p =

   0.8212 + 0.4270i
   0.8212 - 0.4270i
  -0.1367 + 0.7316i
  -0.1367 - 0.7316i
  -0.7024 + 0.0000i


q =

   -0.5000


pa =

    0.9256
    0.9256
    0.7442
    0.7442
    0.7024

例：各种系统零极点图的实现

运行程序如下：

%绘制a系统零极点分布图及系统单位序列响应
z = 0; %定义系统零点位置
p = 0.25; %定义系统极点位置
k = 1; %定义系统增益
subplot(221);
zplane(z,p);
grid on;
%绘制系统零极点分布图
subplot(222);
[num,den] = zp2tf(z,p,k);
impz(num,den);
%绘制系统单位序列响应时域波形
title('h(n)');
grid on;
%定义标题
%绘制b系统零极点分布图及系统单位序列响应
p = 1;
subplot(223);
zplane(z,p);
grid on;
[num,den] = zp2tf(z,p,k);
subplot(224);
impz(num,den);
title('h(n)');
grid on;

运行程序如下：

离散系统差分函数求解

连续函数f(t)经过采样后，获得采样函数f(kT)，那么
一阶向前和向后差分形式分别为
$\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)$
$\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)$
二阶向前和向后的差分形式分别为
${\Delta }^{2}f(k)=\Delta f(k+1)=f(k+2)-2f(k+1)+f(k)$
${\nabla }^{2}f(k)=\nabla [\Delta f(k)]=f(k)-2f(k-1)+f(k-2)$
根据上式可以推导出向前和向后的n阶差分为
${\Delta }^{n}f(k)={\Delta }^{n-1}f(k+1)-{\Delta }^{n-1}f(k)$
${\nabla }^{n}f(k)={\Delta }^{n-1}f(k)-{\Delta }^{n-1}f(k-1)$
连续系统的时间序列方程为$d^{2}c(t)/d{t}^2+adc(t)/dt+bc(t)=kr(t)$
上式中的微分用差分方程替代，则有
$d^{2}c(t)/d{t}^2={\Delta }^{2}c(t)=c(k+2)-2c(k+1)+c(k)$
$dc(t)/dt=c(k+1)-c(k)$
推导到离散时间系统，c(k)代替c(t)，r(k)代替r(t)，则有
$[c(k+2)-2c(k+1)+c(k)]+a[c(k+1)-c(k)]+bc(k)=kr(k)$
整理得
$c(k+2)+(a-2)c(k+1)+(1-a+b)c(k)=kr(k)$
由此可以推导出一般离散系统的差分方程为
$c(k+n)+a_{1}c(k+n-1)+a_2(k+n-2)+\dots \dots +a_{n}c(k)=b_{0}r(k+m)+b_{1}r(k+m-1)+\dots \dots +b_{m}r(k)$
差分方程的解分为通解与特解，通解是与方程的初始状态有关的解，特解与外部输入有关，他描述系统在外部输入作用下的强迫运动

例：求解差分方程$y(n)-0.5y(n-1)-0.45y(n-2)=0.55x(n)+0.5x(n-1)-x(n-2)$，其中$x(n)=0.7^n\epsilon (n)$，初始状态$y(-1)=1,y(-2)=2,x(-1)=2,x(-2)=3$

运行程序如下：

num = [0.55 0.5 -1];
den = [1 -0.5 -0.45];
x0 = [2 3];
y0 = [1 2];
N = 50;
n = [0:N - 1]';
x = 0.7.^n;
Zi = filtic(num,den,y0,x0);
[y,Zf] = filter(num,den,x,Zi);
plot(n,x,'r-',n,y,'b--');
title('响应');
xlabel('n');
ylabel('x(n)-y(n)');
legend('输入x','输入y',1);
grid;

运行结果如下图：

例：编制程序求解下列两个系统差分方程的单位脉冲响应，并绘出其图形。
$y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]$

运行程序如下：

clc;
N = 32;
x_delta = zeros(1,N);
x_delta(1) = 1;
p = [1,-1,0];
d = [1,0.75,0.125];
h1_delta = filter(p,d,x_delta);
subplot(211);
stem(0:N-1,h1_delta,'r');
hold off;
xlabel('方程1的单位脉冲序列');
x_unit = ones(1,N);
h1_unit = filter(p,d,x_unit);
subplot(212);
stem(0:N-1,h1_unit,'r');
hold off;
xlabel('方程1的阶跃响应');

运行结果如下：

参考文献：

1. 《精通MATLAB信号处理》，沈再阳编写，清华大学出版社