对于一个线性时不变离散时间系统（如下图所示），我们在之前就已经接触到了4种不同的描述方法。
H
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
0
∞
h
(
n
)
e
−
j
ω
n
H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)e^{-j\omega n}
H ( e j ω ) = n = 0 ∑ ∞ h ( n ) e − j ω n
H
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
h
(
n
)
z
−
n
H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n}
H ( z ) = n = 0 ∑ ∞ h ( n ) z − n
y
(
n
)
=
−
∑
k
=
1
N
a
(
k
)
y
(
n
−
k
)
+
∑
r
=
0
M
b
(
r
)
x
(
n
−
r
)
y(n)=-\sum_{k=1}^Na(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^Mb(r)x(n-r)
y ( n ) = − k = 1 ∑ N a ( k ) y ( n − k ) + r = 0 ∑ M b ( r ) x ( n − r )
y
(
n
)
=
x
(
n
)
∗
h
(
n
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
x
(
k
)
h
(
n
−
k
)
y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty x(k)h(n-k)
y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = k = − ∞ ∑ ∞ x ( k ) h ( n − k )
h
(
n
)
h(n)
h ( n )
H
(
Z
)
H(Z)
H ( Z ) 对上边的第三式两边取Z变换，得
Y
(
z
)
=
−
Y
(
z
)
∑
k
=
1
N
a
(
k
)
z
−
k
+
X
(
z
)
∑
r
=
0
M
b
(
r
)
z
−
r
Y
(
z
)
[
1
+
∑
k
=
1
N
a
(
k
)
z
−
k
]
=
X
(
z
)
[
b
(
0
)
+
∑
r
=
1
M
b
(
r
)
z
−
r
]
Y(z)=-Y(z)\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}+X(z)\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}\\ \quad \\Y(z)[1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}]=X(z)[b(0)+\sum_{r=1}^Mb(r)z^{-r}]
Y ( z ) = − Y ( z ) k = 1 ∑ N a ( k ) z − k + X ( z ) r = 0 ∑ M b ( r ) z − r Y ( z ) [ 1 + k = 1 ∑ N a ( k ) z − k ] = X ( z ) [ b ( 0 ) + r = 1 ∑ M b ( r ) z − r ]
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
∑
r
=
0
M
b
(
r
)
z
−
r
1
+
∑
k
=
1
N
a
(
k
)
z
−
k
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}}
H ( z ) = X ( z ) Y ( z ) = 1 + ∑ k = 1 N a ( k ) z − k ∑ r = 0 M b ( r ) z − r
H
(
z
)
H(z)
H ( z )
h
(
n
)
h(n)
h ( n )
我们之前学过的，如果已经知道系统的
h
(
n
)
h(n)
h ( n )
y
(
n
)
=
x
(
n
)
∗
h
(
n
)
y(n)=x(n)*h(n)
y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n )
h
(
n
)
h(n)
h ( n )
Y
(
z
)
Y(z)
Y ( z )
X
(
z
)
X(z)
X ( z )
y
(
n
)
y(n)
y ( n )
y
(
n
)
=
−
∑
k
=
1
N
a
(
k
)
y
(
n
−
k
)
+
∑
r
=
0
M
b
(
r
)
x
(
n
−
r
)
=
b
(
1
)
x
(
n
)
+
b
(
2
)
x
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
b
(
n
b
+
1
)
x
(
n
−
n
b
)
−
a
(
2
)
y
(
n
−
1
)
−
.
.
.
−
a
(
n
a
+
1
)
y
(
n
−
n
a
)
y(n)=-\sum_{k=1}^Na(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^Mb(r)x(n-r)\\ \quad \\=b(1)x(n)+b(2)x(n-1)+...+b(n_b+1)x(n-n_b)\\ \quad \\-a(2)y(n-1)-...-a(n_a+1)y(n-n_a)
y ( n ) = − k = 1 ∑ N a ( k ) y ( n − k ) + r = 0 ∑ M b ( r ) x ( n − r ) = b ( 1 ) x ( n ) + b ( 2 ) x ( n − 1 ) + . . . + b ( n b + 1 ) x ( n − n b ) − a ( 2 ) y ( n − 1 ) − . . . − a ( n a + 1 ) y ( n − n a )
y
(
n
)
y(n)
y ( n )
y
=
f
i
l
t
e
r
(
b
,
a
,
x
)
y=filter(b,a,x)
y = f i l t e r ( b , a , x )
x
、
y
、
a
和
b
x、y、a和b
x 、 y 、 a 和 b
已知一个系统的转移函数如下所示：
H
(
z
)
=
0.001836
+
0.007344
z
−
1
+
0.011016
z
−
2
+
0.007374
z
−
3
+
0.001836
z
−
4
1
−
3.0544
z
−
1
+
3.8291
z
−
2
−
2.2925
z
−
3
+
0.55075
z
−
4
H(z)=\frac{0.001836+0.007344z^{-1}+0.011016z^{-2}+0.007374z^{-3}+0.001836z^{-4}}{1-3.0544z^{-1}+3.8291z^{-2}-2.2925z^{-3}+0.55075z^{-4}}
H ( z ) = 1 − 3 . 0 5 4 4 z − 1 + 3 . 8 2 9 1 z − 2 − 2 . 2 9 2 5 z − 3 + 0 . 5 5 0 7 5 z − 4 0 . 0 0 1 8 3 6 + 0 . 0 0 7 3 4 4 z − 1 + 0 . 0 1 1 0 1 6 z − 2 + 0 . 0 0 7 3 7 4 z − 3 + 0 . 0 0 1 8 3 6 z − 4
% % 转移函数
clc;
clear;
x= ones ( 100 , 1 ) ;
% 定义阶跃输入
t= 1 : 100 ;
b= [ 0.001836 , 0.007344 , 0.011016 , 0.007374 , 0.001836 ] ;
% 定义向量b
a= [ 1 , - 3.0544 , 3.8291 , - 2.2925 , 0.55075 ] ;
% 定义向量a
y= filter ( b, a, x) ;
% 得到y ( n)
hold on
h1= plot ( t, x, 'b' ) ;
h2= plot ( t, y, 'r' ) ;
hold off
% 画图结束
legend ( [ h1, h2] , '阶跃输入' , '阶跃响应' ) ;
% 添加标注
其运行结果为：
在我们得到上边的情况下，如果我们想要得到该系统的单位抽样响应，编辑mtalab代码如下：
[ h, t] = impz ( b, a, 40 ) ;
% 令h ( n) 的长度为N= 40
stem ( t, h, '.' ) ;
% 绘制离散的h ( n)
grid on;
其显示结果如下所示：
% % 得到系统的频率响应
[ H, w] = freqz ( b, a, 256 , 'whole' , 1 ) ;
% whole 指定计算的频率范围是0 - Fs, 此处我们设置Fs= 1
Hr= abs ( H) ;
% 得到绝对值，也就是幅度值
plot ( w, Hr, 'r' , 'linewidth' , 2 ) ;
% 绘制图形，并且设置颜色和线宽
grid on;
% 显示方格
xlabel ( '\omega /2\pi' ) ;
ylabel ( '|H(e^{j\omega})|' ) ;
title ( '幅频响应' )
% 坐标轴设置
输出图像如下所示：
数字信号处理理论、算法与实现（第三版）
