【机器学习】7：逻辑回归原理（Logistic Regression，LR）

前言：

逻辑回归在工业上运用广泛，本文只着重讲解逻辑回归的推导过程，具体的实例还需读者自己去寻找；

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一、逻辑回归与线性回归：

逻辑回归是一种广义线性回归(generalized linear model)，因此它与多重线性回归有一些异同点：

• 相同点：它们的模型形式基本上相同，都具有$w’x+b$，其中$w$和$b$是待求参数，$w$是系数矩阵，$b$是偏置项；
• 不同点：多重线性回归是直接将$w’x+b$的结果作为因变量$y$，即$y=w’x+b$； 而逻辑回归添加了一个中间函数$L(x)$，将$w’x+b$通过$L(x)$映射成一个隐状态$p$，即$p=L(w’x+b)$，然后再根据$p$与$1-p$的大小决定因变量$y$的值；

如果这个中间函数$L(x)$是Logistic型函数（Logistic型函数/曲线即为常见的S形函数），则这个回归分析就是逻辑回归（Logistic Regression，LR）；而如果这个中间函数$L(x)$是多项式函数，那么这个回归分析就是多项式回归；

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1.1：Logistic型曲线的性质

Logistic型函数/曲线即为常见的S形函数，例：S型函数形如下：

Logistic曲线性质：可将（-∞，+∞）的自变量$x$压缩到[0, 1]的范围；再结合既定阈值，Logistic函数就可以将连续变化的$x$值，映射转化为非零即一的因变量的值——这也是由回归到分类的过程；

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二、Logistic型函数的一个特例——Sigmod函数：

在Logistic曲线类中，Sigmod函数是具有代表性的一个函数，首先看一下它的表达式：

为什么说Sigmod函数是个特例？Sigmod函数的特殊性有以下两点：

1. 压缩性：Sigmod函数能将（-∞，+∞）的自变量$z$压缩到[0, 1]的范围；
2. 导数特殊性：Sigmod函数求导过程如下，可以发现——Sigmod函数的导数=它自身*(1-它自身)

因为在求解系数矩阵$w$、偏置项$b$时少不了对原等式进行求导，而Sigmod函数的导数与自身构成关系，这在求解的过程中可以减少运算量。所以上面的压缩性是所有Logistic曲线都具有的性质，而导数特殊性是Sigmod函数被选中的主要因素；

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三、逻辑回归原理：（重点）

逻辑回归是在线性回归的基础上发展而来的。线性回归是直接将$w’x+b$的结果作为因变量$y$，即$y=w’x+b$；
而逻辑回归是在线性回归里添加了一个中间函数$L(x)$，将$w’x+b$先通过$L(x)$映射成一个隐状态$p$，即$p=L(w’x+b)$，然后再根据$p$与$1-p$的大小决定最后因变量$y$的值；

更一般的函数形式如下，自变量$x$与$z$的关系是$z={\theta }^{\prime }x$（$x$是训练数据，可以是低维数组也可以是高维向量；$\theta$是矩阵形式的待定系数）。$z$再经过中间函数$g(z)$的作用，映射成为$h_{\theta }(x)$=$g({\theta }^{\prime }x)$，这里$h_{\theta }(x)$相当于因变量$y$，再将$g({\theta }^{\prime }x)$换成Sigmod函数就变成下图的第二行等式；

为求解矩阵形式的待定系数$\theta$，我们沿用线性回归的最小二乘法——均方误差求极值的方法求取损失的最优解，也就是用预测值和真实值的差值的平方和来估计参数$\theta$的优劣，这时就遇到了问题：

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3.1、类比线性回归求解系数时遇到的新问题

在线性回归中，均方误差求极值的方法得到的损失函数cost大多是如下右图的凸函数（不是直接的凸函数，也可以经过变换转化成凸函数）；而在逻辑回归中也用这种方法得到的损失函数曲线形如左下图，这是一个非凸函数，具有多个局部极小值点，在难以求得全局最小值的情况下，表现并不好。

那有什么方法，能将这个非凸函数的损失函数转化成凸函数呢？
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3.2、重新定义损失函数

于是大神们就开始研究了——有没有那种经过Sigmod函数映射后，它的损失函数还是凸函数的函数呢？
大牛们当然是能找到这样的函数的，如下：（y是标签，二分类y$\in${0,1}）

解释y = 1的情况，也就是上左图：（y = 0同理）

从损失函数、$h_{\theta }(x)$函数与$x$的变化规律说明：上面这个分段函数满足我们对新损失函数的要求——自变量$x$经过了Sigmod函数映射后得到的损失函数确实是个凸函数；

但新问题也同时出现了——这个新的损失函数由于是个分段函数，在计算的过程中是很复杂的，那有没有什么办法可以将这个分段函数合成一个函数呢？

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3.3、解决分段函数问题——极大似然估计

我们采用极大似然估计的方法，将这个分段函数合成一个函数；
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这里博主只能粗略的对极大似然估计进行讲解，如果你想要很清楚的看懂下面的理论，建议深入学习
极大似然估计只是一种粗略的数学期望，通过已出现或已观测的结果对总体期望进行估计的一种方法，表达式为$L(\theta )=p(y_i|X;\theta )$

假设：某一事件只有两个可能发生的结果：$y=0,y=1$

• $y=1$的概率为：$p(y=1|X;\theta )$
• $y=0$的概率为：$p(y=0|X;\theta )$，也等于$1-p(y=1|X;\theta )$

则用极大似然估计，总体期望$L(\theta )=p(y_i|X;\theta )=p(y=1|X;\theta )\ast p(y=0|X;\theta )=p(y=1|X;\theta )\ast (1-p(y=1|X;\theta ))$

结合上面的分段函数，概率$p$是满足Sigmod函数变化的，即：

则将概率$p$换成$h_{\theta }(x)$，极大似然函数就变成如下：

更一般的形式即为：

两边再取导数，连乘变成连加就成如下，这个等式在下面就会用到：

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通过极大似然估计的方法，将上面的分段函数转化成为了一个函数，也就是下面的目标函数：

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3.4、确定$\theta$的更新公式

我们的终极目标就是求上面这个目标函数的极值点，使用梯度下降法，$\theta$的更新依据公式如下，$\alpha$是学习率

所以需要对θ进行求导：
根据上式，确切的$\theta$更新公式即为：

因为式中$\alpha$是既定的学习率，所以$1/m$可以省略，所以最终的$\theta$更新公式为：

其中

• $\alpha$是学习率；
• $h_{\theta }(X)$是在当前参数$\theta$下得到的预测值；
• $y$是真实值；
• $x_j$是第$j$个参与训练的数据，$x_j$$\in$$X$

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说明：

逻辑回归详细的给出了参数学习的方向，在深度学习中这个思想运用广泛，所以理解其中的算法思路很重要；

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补充知识：

Sigmod函数的由来——事件的优势比($odds$)，那什么是事件的优势比？

• 事件成功的几率$p$与事件失败的几率$1-p$的比值即为事件的优势比：$odds=p/(1-p)$

两边取对数：$ln(odds)=ln(p/(1-p))$，求取$p$，$p$的表达式就是Sigmod函数