LeetCode丑数（Ugly Number）
丑数（搜狗百科）
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说法一（ugly number）：把只包含质因子2，3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但7、14不是，因为它们包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。
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对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, …, pK},考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1p2、p1p1、p1p2p3…(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。
丑数★
【题目】编写一个程序判断给定的数是否为丑数。丑数就是只包含质因数 2, 3, 5 的正整数。
【题目】编写一个程序判断给定的数是否为丑数。丑数就是只包含质因数 2, 3, 5 的正整数。
说明:
1是丑数。- 输入不会超过 32 位有符号整数的范围: [−231, 231 − 1]。
【示例】
输入: 6
输出: true
解释: 6 = 2 × 3
【解题思路】
- 显然，若num为负数或者0，则不是丑数
- num除以因子2、3、5，看其最后值是否等于1
class Solution {
public boolean isUgly(int num) {
if(num <= 0) return false;
int[] fac = {
2, 3, 5};
for(int x : fac) {
while(num % x == 0) num /= x;
}
return num == 1;
}
}
丑数Ⅱ★★
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【题目】编写一个程序，找出第 n 个丑数。丑数就是质因数只包含 2, 3, 5 的正整数。
说明:
1是丑数。n不超过1690。
【示例】
输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。
【解题思路】
方法一：优先队列
- 初始化队列为1（第一个丑数）
- 出队列一个丑数，并且将乘以2、3、5的丑数入队（注意if判断不能重复加入数据）
- 遍历至第n个丑数
class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
PriorityQueue<Long> queue = new PriorityQueue<Long>();
queue.offer(1l); //此处1l为long型
long res = 0;
int[] fac = {
2, 3, 5};
for(int i = 0; i < n; i++) {
res = queue.poll();
for(int j = 0; j < 3; j++) {
if(!queue.contains(fac[j] * res)) {
queue.offer(fac[j] * res);
}
}
}
return (int)res;
}
}
方法二：动态规划
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初始化第一个丑数dp[0]为1
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使用三个指针i，j，k标记丑数所需要乘以的因子。
在 2 x dp[i]、3 x dp[j]、5 x dp[k]中选择最小的数添加到数组中，并将因子对应的丑数下标后移一位
class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1; //初始化
int i = 0, j = 0, k = 0;
int t = 0;
for(int x = 1; x < n; x++){
t = Math.min(dp[i] * 2, Math.min(dp[j] * 3, dp[k] * 5));
dp[x] = t;
if(t == dp[i] * 2) i++;
if(t == dp[j] * 3) j++;
if(t == dp[k] * 5) k++;
}
return dp[n - 1];
}
}
超级丑数★★
【题目】编写一段程序来查找第 *n* 个超级丑数。
超级丑数是指其所有质因数都是长度为 k 的质数列表 primes 中的正整数。
说明:
- 1 是任何给定 primes 的超级丑数。
- 给定 primes 中的数字以升序排列。
- 0 < k ≤ 100, 0 < n ≤ 106, 0 < primes[i] < 1000 。
- 第 n 个超级丑数确保在 32 位有符整数范围内。
【示例】
输入: n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出: 32
解释: 给定长度为 4 的质数列表 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32]
【解题思路】
同上丑数Ⅱ
class Solution {
public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1;
int[] t = new int[primes.length];
for(int i = 1; i < n; i++){
int x = Integer.MAX_VALUE;
for(int j = 0; j < primes.length; j++){
x = Math.min(x, dp[t[j]] * primes[j]);
}
dp[i] = x;
for(int j = 0; j < primes.length; j++){
if(x == dp[t[j]] * primes[j]){
t[j]++;
}
}
}
return dp[n - 1];
}
}
丑数Ⅲ★★
【题目】请你帮忙设计一个程序，用来找出第 n 个丑数。丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数。
提示：
1 <= n, a, b, c <= 10^91 <= a * b * c <= 10^18- 本题结果在
[1, 2 * 10^9]的范围内
【示例】
----输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10... 其中第 3 个是 4。
----输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984
【解题思路】
二分查找+集合运算
若问我意知多少，一切尽在下图中
class Solution {
public int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
if(a == 1 || b == 1 || c == 1) return n;
//组合最小公倍数
long comAB = lcm(a, b);
long comAC = lcm(a, c);
long comBC = lcm(b, c);
long comABC = lcm(comAB, c);
long lo = Math.min(a, Math.min(b, c));
long hi = Math.min(a, Math.min(b, c)) * n;
while(lo <= hi){
long mid = lo + (hi - lo) / 2;
long count = mid / a + mid / b + mid / c
- mid / comAB - mid / comAC - mid / comBC + mid/ comABC;
if(count == n){
lo = mid;
break;
}
if(count > n) hi = mid - 1;
if(count < n) lo = mid + 1;
}
return (int)(lo - Math.min(lo % a, Math.min(lo % b, lo % c)));
}
public long lcm(long a, long b){
//最小数公倍数
return a * b / gcd(a, b);
}
public long gcd(long a, long b){
//最大共公约数
return a == 0 ? b : gcd(b % a, a);
}
}