循环群的子群

• 循环群的子群仍是循环群
• 无限循环群的子群除{e}生成的外都是无限阶的
• 对于阶数n的每个正因子d，恰有一个d阶子群
  $$\begin{gathered} 首先a^{\frac{n}{d}}生成的群一定是G的d阶子群 \\ 需要证明其唯一性：假设a^m也生成了d阶子群，(a^m{)}^d=e,则由n整除m\ast d\Rightarrow m=k\ast \frac{n}{d} \\ {a}^m=a^{k\ast \frac{n}{d}}=(a^{\frac{n}{d}}{)}^k,所以a^m生成的群的集合是a^{\frac{n}{d}}生成的集合的子集， \\ 又因为两群阶数相同，所以两个集合相等 \end{gathered}$$

$例：、试求出8阶循环群的所有生成元和所有子群。$
解 : 设 G 是 8 阶 循 环 群 ， a 是 它 的 生 成 元 。 G = { e , a , a 2 , … … ， a 7 } a k 为 G 的 生 成 元 的 充 要 条 件 是 k 与 8 互 素 ， 故 a , a 3 , a 5 , a 7 是 G 的 所 有 生 成 元 因 为 循 环 群 的 子 群 也 是 循 环 群 ， 且 子 群 的 阶 数 是 G 的 阶 数 的 因 子 G 的 子 群 只 能 是 1 阶 的 ， 2 阶 的 ， 4 阶 的 或 8 阶 的 , d = 1 , 2 , 4 , 8 , a n d 生 成 的 群 故 G 所 有 的 子 群 除 了 两 个 平 凡 子 群 外 ， 还 有 { e , a 4 } ， { e , a 2 , a 4 , a 6 } 解: 设G是8阶循环群，a是它的生成元。G=\{ e,a,a^2,……，a^7 \}\\ a^k为G的生成元的充要条件是k与8互素，故a,a^3,a^5,a^7是G的所有生成元\\ 因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G的阶数的因子\\ G的子群只能是1阶的，2阶的，4阶的或8阶的,d=1,2,4,8,a^{\frac{n}{d}}生成的群\\ 故G所有的子群除了两个平凡子群外，还有\{e,a^4 \}，\{e,a^2,a^4,a^6 \} 解:设G是8阶循环群，a是它的生成元。G={ e,a,a2,……，a7}ak为G的生成元的充要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G的阶数的因子G的子群只能是1阶的，2阶的，4阶的或8阶的,d=1,2,4,8,adn​生成的群故G所有的子群除了两个平凡子群外，还有{ e,a4}，{ e,a2,a4,a6}
定理三：元素的阶数和子群的阶数