【树形dp】| AcWing 算法基础班试题总结

285. 没有上司的舞会

题目描述

某公司有N名职员，编号为1~N。
他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。
每个职员有一个快乐指数，用整数 Hi 给出，其中 1≤i≤N。
现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。
在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。

输入格式
第一行一个整数N。
接下来N行，第 i 行表示 i 号职员的快乐指数Hi。
接下来N-1行，每行输入一对整数L, K,表示K是L的直接上司。

输出格式
输出最大的快乐指数。

数据范围
1≤N≤6000,
−128≤Hi≤127

输入样例：

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3 //即，3->1
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

输出样例：

5

分析

整个公司的职员组成一棵树，每个职员就是树上的一个结点，对于每个结点，有0 1两种状态，选就是1，不选就是0。

状态表示：

f[u][0]：以结点u为根的子树，并且不选u这个点的符合要求的各种方案
f[u][1]：以结点u为根的子树，并且选择u这个点的符合要求的各种方案

属性： Max，f[u][0]或者f[u][1]的值就是各种符合要求的方案的最大值

求从u结点开始的子树满足要求的方案最大值，最终结果肯定在f[u][0]和f[u][1]中选择，选择其最大值。

1. 考虑是否选择结点u
2. 递归地考虑父结点u各个子结点s_i，递归结束的条件就是到达叶子结点。

以父结点u为根节点考虑 和 以子节点s为根节点考虑，这二者的方法是相同的，且相互独立的。
且父结点的值需要用到子节点的值。

假设以结点u为根节点的子树有多个子节点s_i，考虑它的每个子节点s_i，可以再看成以子节点s_i为根的子子树。

1. 如果选择结点u的话，子结点s_i一定不能选。
   $f[u][1]=\sum (f[si,0])$
2. 如果不选择结点u的话，子结点可选可不选，选择其中的最大值即可。
   $f[u][0]=\sum max(f[si,0],f[si,1])$

注意：
由数据的输入可知，我们并不知道树的根节点是谁，因此还需要自己处理得到。
得到根节点root后，看成以根节点的子树，所以最后只用考虑root根节点是否选择，输出f[root][0]和f[root][1]的较大者即可。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#define read(x) scanf("%d",&x)

using namespace std;

const int N=6010;
int hpy[N];
int h[N],e[N],ne[N],idx;//树，N个顶点，N-1条边
//next数组记录后继结点,通过idx记录
int pre[N];//pre数组记录前驱结点，直接通过结点编号记录
int dp[N][2];

void add(int a,int b)//a->b的边
{
    
    
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; 
    pre[b]=a;
}

void dfs(int u) //判断以该点为根的子树的最大happy值
{
    
    
  "初始化，是否选该结点：dp[u][1]和dp[u][0]"
  "选中该结点，加上该happ值，不选中时，dp[u][0]=0"
    dp[u][1]=hpy[u];   
  "递归结束的条件，遇到叶子结点，它没有子节点了。只进行初始化，然后就往上返回"
    for (int i=h[u];~i;i=ne[i]) {
    
    
        int j=e[i]; //找它的子节点
        dfs(j); //求子节点的最大happy值
        //考虑以u为根的子树，是否选子节点？
        dp[u][0]+=max(dp[j][0],dp[j][1]); //不选u时，子节点可选可不选，取最大值。
        dp[u][1]+=dp[j][0]; //选u时，子节点必不能选。
    }
}

int main()
{
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    int n;
    read(n);
    for (int i=1;i<=n;i++) read(hpy[i]);
    //存树
    int l,k; //k是l的直接上司，即k->l的边
    for (int i=1;i < n;i++) {
    
     //n个顶点，所以共n-1条边，不能取等号
        read(l),read(k);//先输入的是子节点
        add(k,l);  //存数k->l的边
    }
    //找树的根节点,记录结点编号，只有根节点没有父结点，pre[rt]==0
    int rt=1;
    while (pre[rt]) rt++;
    dfs(rt);
    int res=max(dp[rt][0],dp[rt][1]);
    printf("%d",res);
    
    return 0;
}

一定要记得main循环第一行中的初始化，常犯错误。

dfs递归中，递归结束的条件就是碰见叶子结点，由于没有子节点了，所以他也就不会进入for循环，进行初始化之后就往上返回了。

树形结构，不存在一个点有多个入度，只有一个入度和最多一个出度，保证了每个点只会被初始化一次，只会经历一次递归。