900. 整数划分
题目描述
一个正整数n可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk，k≥1。
我们将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。(无序、可重复)
现在给定一个正整数n，请你求出n共有多少种不同的划分方法。
输入格式
共一行，包含一个整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
由于答案可能很大，输出结果请对109+7取模。
数据范围
1≤n≤1000
输入样例:
5
输出样例：
7
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思路一：完全背包思想
思路： 把整数1,2,3, … n分别看做n个物体的体积，这n个物体都没有使用次数限制，问恰好能装满总体积为n的背包的总方案数（完全背包问题变形）
状态表示： f[i][j]表示前i个整数（1,2…,i）恰好凑成整数j的方案数
求方案数：把集合选0个i，1个i，2个i，…，s个i全部加起来，其中s*i<=j，(s+1)*i>j
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2*i] + ...+ f[i][j - s*i] ;
f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + ...+ f[i][j - s*i];
因此有优化后的状态转移方程： f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] + f [ i ] [ j − i ] ; f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i]; f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i];
初始化问题：
由于i-1、j-i的存在，可能涉及第0行、第0列。
且我们从数字1，即第一行开始递推，就要用到第0行的初始化：
f[0][j]，即第0行，不选择一个数选择凑到数字j，显然不可能，所以除了f[0][0]，都初始化为0，什么都不选也可以凑到数字0，所以f[0][0]=1。
f[i][0] 当给i个数字凑数字0时，那么什么都不选就可以了，所以f[i][0]=1。
而我们只要初始化第0行就可以了，这样下面计算的时候让j从0开始循环，就可以让每一行的f[i][0]=1了。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;
int f[N][N];
int main() {
int n;
cin >> n;
f[0][0] = 1; "容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案，凑够数字0，将第0行的f[0][0]初始化为0"
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = 0; j <= n; j ++) {
"j从0开始"
f[i][j] = f[i - 1][j]; "同时处理j=0的列"
if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
}
}
cout << f[n][n] << endl;
return 0;
}
一维数组优化：
观察 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] + f [ i ] [ j − i ] ; f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i]; f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i];
当按行更新时，即先循环行，再循环列，求前i个数字下凑各种数字j的各种方案数，那么就可以只用到第i行和第i-1行，就可以优化为一维数组存储。
按照正序遍历，因为前面更新过的要被后面的用到。
算法实现
#include <iostream>
#define read(x) scanf("%d",&x)
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int dp[N];
int main() {
int n;
read(n);
"初始化第0行"
dp[0]=1;
"每次更新一行，先循环i，再循环j，保证可以得到需要的数据"
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=i;j<=n;j++) "正序遍历"
dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%mod;
printf("%d",dp[n]);
return 0;
}
思路二：人为划分集合
f[i][j]表示i的j划分，即总和为i，数字i被用j个正数表示的方案数。表示的数字范围从1到n。
人为的将j个数的集合划分成两部分：是否包含数字1？如果包含，可以把1踢出去：如果不包含，可以让集合整体减1：
动态转移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
最终的结果：即数字n被j个数表示的方案总和，j=1,2,……,n，所以要求f[n][1]到f[n][n]的累加和。
初始化问题：
f[0][j]，j个正数表示数字0； f[i][0]，0个正数表示数字i。
第一行、第一列除了f[0][0]外都初始化为0，f[0][0]=1，因为0个正数可以表示数字0。
对于二维表f，主对角线处f[i][i]指i个数表示数字i，必然全为1，只有一种情况，所以f[i][i]=1。
第一列f[i][1]，数字i用1个数表示，这个是肯定是i，所以f[i][1]=1。
此外，这个最终的二维表f是个下三角矩阵，因为对于数字i，由j个数相加而成，j的最大值就是i。 i个1相加。
不能优化成一位数组：
- 按行更新时，求第i行要用到第i-1行和第i-j行，不是用到了两行，不可。
- 按列更新时，求第j列时，虽然只会用到j列和第j-1列，但我们最终需要二维表的第n行，按列更新时最终只会记录第j列，得不到我们要的最终结果。
算法实现
#include <iostream>
#define read(x) scanf("%d",&x)
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int dp[N][N];
int main()
{
int n;
read(n);
//初始化
dp[0][0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=i;j++)
dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j])%mod;
int res=0;
for (int i=1;i<=n;i++) res=(res+dp[n][i])%mod;
printf("%d",res);
return 0;
}
思路三：分治
状态表示：
f[n][m]表示将数字n最多分成m份，最多m个数相加的n。
LL solve(int n , int m ){
"如果n == 1 显然只能分成一组 "
"如果m == 1 显然只能分成一组 "
if( n == 1 || m == 1) return 1 ;
"如果n > m "
"分成m份：那么给集合中每个数减去1，此时份数不变，等价于=> solve(n-m,m)"
"不分成m份: 递归求分成m-1份=>solve(n,m-1)"
if( n > m ) return (solve(n-m,m)+solve(n,m-1))%mod;
"如果n == m "
"情况同上，n > m，只不过分成n份时结果已知为1，就不用再去减1了， 不分成m份时=>solve(n,m-1)"
if(n == m ) return (1+solve(n,m-1))%mod ;
"如果n < m , solve(n,m) == solve(n,n)"
if(n < m ) return solve(n,n)%mod ;
}
C++代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010,mod = 1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) f[1][i] = f[i][1] = 1; "第一行第一列才都初始化为1"
for(int i = 2 ; i <= n ; i++ ){
for(int j = 2; j <= n ; j++ ){
"没有限制j<=i，所以上面第一行第一列才都初始化为1"
if(i == j) f[i][j] = (1+f[i][j-1])%mod ;
else if(i > j) f[i][j] = (f[i-j][j]+f[i][j-1])%mod ;
else f[i][j] = f[i][i]%mod;
}
}
cout << f[n][n] << endl;
return 0;
}