雇用问题描述

一个老板想换掉自己的办公助理，并且决定每次面试一个人，如果当前这个面试者比现在的办公助理好，就雇用他，并且解聘现在的办公助理。

描述成伪代码可以有如下形式：

Hire-Assistant(n):
best = 0	//假装有最菜的面试者，其实也可以理解为当前助理最菜
for i=1 to n	//遍历全部面试者
	interview candidate i	//取当前面试者
	if candidate i is better than candidate best	//判断谁更优秀
		best = i	//改变best指的人
		hire candidate i	//雇用面试者i

总共要面试 n 个面试者，这期间可能会雇用 m 个人，也就是换人换了 m 次。
假设面试一次花费 c 块 ,雇用一个人需要 h 块 ,那么我们可以知道：
面试全部人费用为 C* n ，且这个是固定的。
最后雇用花的费用为 h*m，这个是不确定的。
这时候我们不知道雇用行为会出现多少次，这就涉及到概率行为。

概率分析

太多数情况下，我们用概率分析来分析一个算法的运行时间。例如上面 Hire-Assistant中的雇用费用。为了进行概率分析，我们必须使用或者假设关于输入的分布。然后分析这个算法，对输入产生的运行时间取平均。在这个问题中可以是对雇用次数取平均或者雇用花费取平均，实际问题实际分析。 我们称这个为平均情况运行时间。

均匀随机队列：面试者出现次序是均匀随机的，每个序列概率都是相等的。

随机算法

如果一个算法的行为不仅由输入决定，还由随机数生成器决定，我们就称这个算法是随机的。我们假设有一个可以自由使用的随机数生成器 RANDOM(a,b) ，调用它将会等概率返回一个介于 a 和 b 间的整数。在大多数环境中的随机数算法都是这种伪随机数生成器，返回值在统计上看起来是随机的。

当分析一个随机算法的运行时间时，其中输入值由随机算法产生，则运行时间称为期望运行时间。

思考
考虑 RANDOM（a，b）实现，只能调用RANDOM（0,1）

a 和 b 中有 b - a + 1个数
RANDOM（a，b）也就是 a + RANDOM（0，b - a + 1）
找二进制里刚好大于 b - a - 1 的数，2^m >= b - a - 1, 取 m 位
m位二进制位都由 RANDOM（0,1）生成，若是比 b - a + 1 大，舍掉就行

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <ctime>
using namespace std;

//随机生成 0 | 1
int random_0_1()
{
    
    
	return rand() % 2;
}
//获得刚好大于 b - a + 1 的二进制位数
int getBit(int a, int b)
{
    
    
	int n = b - a + 1;
	int bit = 0;
	int value = 1;
 
	while (value < n)
	{
    
    
		bit++;
		value = value << 1;
	}
	return bit;
}
 //具体实现
int random_a_b(int a, int b)
{
    
    
	int bit = getBit(a, b);
 
	int flag;
	int result = 0;
	while (true)
	{
    
    
		for (int i = 0; i < bit; i++)
		{
    
    
			flag = random_0_1();//二进制位置位
			flag = flag << i; //左移到那个位置
			result |= flag;	//取或
		}
 
		if (result + a > b)
		{
    
    
			result = 0;
			continue;
		}
		else
			break;
	}
	
	return result + a;
}
 
int main()
{
    
    
	srand(unsigned(time(NULL)));
	
	for (int i = 0; i < 100; i++)
	{
    
    
		int result = random_a_b(5, 10);
		cout << "result: " << result << endl;
	}
}

再思考
假设生成 0 的概率为 p，生成1的概率为1-p，怎么制造 RANDOM(a,b)。

设想该生成器随机生成两个数，有下面四种组合：

组合	概率
00	p²
01	p*(1-p)
10	p*(1-p)
11	(1-p)²

所以能发现 10 和 01 等概率出现，我们令 10 为1 ，01 为0，就能回到上一个思考题做法。

再再思考
已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。
其实还是想办法找相等概率的数来组合，但是在这里是以和的形式。
令A = rand7 = {1,2,3,4,5,6,7}
令B = （rand7-1）*7 = {0,7，14,21，28,35，,42}
有没有发现什么？ A和B中每个元素的概率都是 1/7 ，并且相加后能出现 1~49，在这里构造rand10（）只需要舍去 41~49再取余就行了。