快速幂、洛谷P1226题（java）

编程改变世界

快速幂（a^b）：它基于二分法的思想，因此也常被称为二分幂，快速幂基于以下事实：

如果b是奇数，那么有a^b = a * a^b -1
如果b是偶数，那么有a^b = a^(b/2) * a^(b/2)。

显然，b是奇数的情况总是可以在下一步转换为b是偶数的情况，而b是偶数的情况总可在下一步转换为b/2的情况。这样，在 log(b) 级别次数的转换后，就可以把b变成0，而任何正整数的0次方都是1.
所以时间复杂度为O(logb)

代码如下：

public static long bin(long a,long b,long k){
    
    
        if (b == 0) return 1 % k; 
        //为了特殊情况，这里也要 % k，（bin（1,0,1））
        if (b % 2 == 1){
    
    
            return (a * bin(a, b - 1, k)) % k;
        }else {
    
    
            long mul = bin(a, b / 2, k);
            return mul * mul % k;
            //这里不能写成 bin(a, b / 2, k) * bin(a, b / 2, k)
            //这样的话时间要调用两次，时间复杂度会大大增多。
        }
    }

测试运行代码（洛谷P1226题）：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        long a = input.nextInt();
        long b = input.nextInt();
        long k = input.nextLong();
        System.out.printf("%d^%d mod %d=%d%n",a,b,k,bin(a,b,k));
    }

    public static long bin(long a,long b,long k){
    
    
        if (b == 0) return 1 % k;
        if (b % 2 == 1){
    
    
            return (a * bin(a, b - 1, k)) % k;
        }else {
    
    
            long mul = bin(a, b / 2, k);
            return mul * mul % k;
        }
    }
}

运行结果：