【数据结构学习记录18】——图的概念

零.前言

在前面，学习了链表和树。
在链表里，元素只有线性关系，每个元素一般只有一个前驱和后继。
在树中，元素之间有明显的层次关系，并且每一层上的元素可能和下一层的多个元素有关，但是只能和上一层的某一个元素有关。
而在图，我们结点间的关系是可以任意的，就好比一棵树，结点只有一个双亲，而图能拥有多个双亲。。。听起来怪怪的。。

一.术语

1.描述

顶点（Vertex）：数据元素、
弧：若V表示顶点的有穷非空(树和链表可空哦)集合；VR表示两个顶点的关系的集合。若<v,w>∈VR，则<v,w>表示从v开始到w的一条弧。
弧尾：如弧定义中的v。
弧头：如弧定义中的w。（有些奇怪，尾在前面，头在后面，理解成箭头就行惹）
有向图（Digraph）：由顶点和弧构成的图。
边：如果将弧的定义的有序对<v,w>改为无序对(v,w),那么此时就为从v开始到w的一条边。
无向图（Undigragph）：由顶点和边构成的图。

2.完全图

在不考虑顶点回到其自身的弧或边，如果有：
$$\frac{1}{2}n(n-1)$$
条边的无向图，称为完全图。
而有:
$$n(n-1)$$
条边的图，叫有向完全图
至于如何推导这个算边的公式，那就是初中数学题了，不多说。

3.稀疏、稠密图

一般来说，有很少的边或弧：
$$<nlogn$$
我们叫做稀疏图
反之则为稠密图

4.子图

假设有两个图G=(V,{E})和G’=(V’,{E’})，若：
$$V^{\prime }\subseteq V,E^{\prime }\subseteq E$$
则可以说G’是G的子图

5.邻接与度

如果无向图G={V，{E}}，如果边（v,v’）∈ E，则称顶点v和v’互为邻接点。边（v,v’）依附顶点v和v’， 或者说（v,v’）和顶点v、v’相关联。
顶点v的度是和v相关联边的数目，记为TD(V)，例如该图的V₃的度为3

有向图G=（V，{A}）中，如果弧<v，v’>∈A，则顶点v邻接到顶点v’，顶点v’邻接自顶点v。以顶点v为头的弧的数目称为v的入度(InDegree)，记为ID(v)；同理，以顶点v为尾的弧的数目称为v的出度(OutDegree)，记为OD(v)。顶点的度TD(v)=ID(v)+OD(v)
例如该图V₁的 TD=3，ID=2，OD=1

一般来说，一个又n个顶点，e条边或弧的图，有一下规律：
$$e=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}TD(V_i)$$

6.路径与回环

无向图G=（V，{E}）中从顶点v到顶点v’的路径是一个顶点序列（v=v_i,0，v_i,1，… ，v_i,m），其中（v_i,j-1， v_i,j）∈ E， 1≤j≤m。有向图同理。说了这么多，看起来很复杂，画个图就直观了：

第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
序列顶点不重复出现的路径叫简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，叫简单回路或简单环。

7.连通图与连通分量

在无向图中，从顶点v到顶点v’有路径，则v和v’是连通的。如果对于图中任意两个顶点，他们都是连通的，那么这个图就是连通图。
连通分量，也叫做极大连通子图：对于图G中的连通子图G’，如果不存在另一个连通子图G’’,使得G’⫋G’’，则G’是G的连通分量。所以G应该是所有连通分量的合集。

强连通图，如果对于每一对v_i，v_j∈V，v_i≠v_j，则图G是强连通图。参考连通分量的定义，有向图也存在强连通分量。

8.生成树

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它包含该(子)图中的所有全部顶点，记定点数为n，那么它有且仅有n-1条边。如果再这个极小连通子图上添加一条边，那么必定会形成一个环。
所以，一个又n个顶点的生成树，有且仅有n-1条边，如果边＞n-1，则必定有环；如果< n-1条边，则是非连通图。但是有n-1条边的图不一定是生成树

9.有向树和生成森林

如果一个有向图，恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的出度均为1，则是一棵有向树。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

二.图的储存结构

图的储存结构后面会详细讲，现在先说常见的几种：

1. 数组表示法
2. 邻接表
3. 十字链表
4. 领接多重表

三.图的遍历

这个后面也会讲，图的两种遍历深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS