【数据结构学习记录23】——最短路径

一.概述

最短路径是指：如果给定一个有向、无向网，找到一条路径，使得两个顶点间的权和最小。
比如：

这个图里，V₀到V₅的最短路径是60。（V₀–V₄–V₃–V₅）

二.迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

这个算法和前面最小生成树的算法思想一模一样，代码甚至都基本相同，只是求的对象不同。我们还得加一个数组来存最短路径距离值。如果要具体的路径，还得开一个数组来保存中间变量。
代码这篇就不详写了，可以看看别的代码。

三.弗洛伊德(Floyd)算法

怎么说呢，这是一种动态规划的思想，因为以前有接触动规，所以很好理解。只要写出我们的转移方程，就可以实现代码了。
弗洛伊德的核心思想是：如果dis(A,B) + dis(B,C) < dis(A,C)，则dis(A,C)=dis(A,B) + dis(B,C)
状态转移方程为：$d^k(i,j)=min(d^{k-1}(i,j),d^{k-1}(i,k)+d^{k-1}(k,j))$
相当于，一个中介点，若通过中介点导致两个点的距离变小，那个就更新这两个点的距离。动规的思想很巧妙，得多理解。
所以，我们三个循环就可以完成：

1. 第一层循环：遍历所有点，作为中介点。（遍历k）
2. 第二次循环：遍历所以的起始点。（遍历i）
3. 第三次循环：遍历所有的结束点。（遍历k）
   所以代码就放这里了：

//k为中间点 
for(k = 0; k < G.vexnum; k++)
{
    
    
    //v为起点 
    for(i = 0 ; i < G.vexnum; i++)
    {
    
    
        //w为终点 
        for(j =0; j < G.vexnum; j++)
        {
    
    
            if(D[i][j] > (D[i][k] + D[k][j]))
            {
    
    
                D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                //更新最小路径 
            }
        }
    }
}

最后，领接矩阵D则是任意两个点的最短路径的值。
如果要路径的话，则开一个数组，在更最内层判断力更新路径即可。

四.后记

感觉这篇写的好水，但是毕竟是我的笔记，我康得懂就行惹。。。。