算法与数据结构之-图的最短路径

主要介绍最短路径问题和松弛操作、Dijkstra算法的思想、负权边和Bellman-Ford算法等

最短路径问题和松弛操作

一个节点到另一个节点最短的路径，路径规划问题。

• 路径规划（费用、长度）
• 工作任务规划

对于无权图进行广度优先遍历就是求出了一个最短路径（求出的是一颗最短路径树）

• 从起始点到其他节点路径最短的树

• 无权图的最短路径。

• 有权最短路径

松弛操作

松弛操作是指对于每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计（shortest-path estimate）。

• 松弛操作,找到更短路径，松弛操作是最短路径求解的核心。

dijkstra 单源最短路径算法

局限性

• 前提：图中不能有负权边
• 复杂度 O( E log(V) )同最小生成树

最小索引堆

• 从源点能到达的点中最短的路径。
• 图中不能有负权边

松弛操作

• 经过2到达1和经过2到达3比原来记录的值小，所以松弛更新。

• 经过1到4更短

代码实现

// Dijkstra算法求最短路径
template<typename Graph, typename Weight>
class Dijkstra{

private:
    Graph &G;                   // 图的引用
    int s;                      // 起始点
    Weight *distTo;             // distTo[i]存储从起始点s到i的最短路径长度
    bool *marked;               // 标记数组, 在算法运行过程中标记节点i是否被访问
    vector<Edge<Weight>*> from; // from[i]记录最短路径中, 到达i点的边是哪一条
                                // 可以用来恢复整个最短路径

public:
    // 构造函数, 使用Dijkstra算法求最短路径
    Dijkstra(Graph &graph, int s):G(graph){

        // 算法初始化
        assert( s >= 0 && s < G.V() );
        this->s = s;
        distTo = new Weight[G.V()];
        marked = new bool[G.V()];
        for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
            distTo[i] = Weight();
            marked[i] = false;
            from.push_back(NULL);
        }

        // 使用索引堆记录当前找到的到达每个顶点的最短距离
        IndexMinHeap<Weight> ipq(G.V());

        // 对于其实点s进行初始化
        distTo[s] = Weight();
        from[s] = new Edge<Weight>(s, s, 0);
        ipq.insert(s, distTo[s] );
        marked[s] = true;
        while( !ipq.isEmpty() ){
            int v = ipq.extractMinIndex();

            // distTo[v]就是s到v的最短距离
            marked[v] = true;

            // 对v的所有相邻节点进行更新
            typename Graph::adjIterator adj(G, v);
            for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() ){
                int w = e->other(v);
                // 如果从s点到w点的最短路径还没有找到
                if( !marked[w] ){
                    // 如果w点以前没有访问过,
                    // 或者访问过, 但是通过当前的v点到w点距离更短, 则进行更新
                    if( from[w] == NULL || distTo[v] + e->wt() < distTo[w] ){
                        distTo[w] = distTo[v] + e->wt();
                        from[w] = e;
                        if( ipq.contain(w) )
                            ipq.change(w, distTo[w] );//最小索引堆支持change操作
                        else
                            ipq.insert(w, distTo[w] );
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 析构函数
    ~Dijkstra(){
        delete[] distTo;
        delete[] marked;
        delete from[0];
    }

    // 返回从s点到w点的最短路径长度
    Weight shortestPathTo( int w ){
        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( hasPathTo(w) );
        return distTo[w];
    }

    // 判断从s点到w点是否联通
    bool hasPathTo( int w ){
        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        return marked[w];
    }

    // 寻找从s到w的最短路径, 将整个路径经过的边存放在vec中
    void shortestPath( int w, vector<Edge<Weight>> &vec ){

        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( hasPathTo(w) );

        // 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中
        stack<Edge<Weight>*> s;
        Edge<Weight> *e = from[w];
        while( e->v() != this->s ){
            s.push(e);
            e = from[e->v()];
        }
        s.push(e);

        // 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径
        while( !s.empty() ){
            e = s.top();
            vec.push_back( *e );
            s.pop();
        }
    }

    // 打印出从s点到w点的路径
    void showPath(int w){

        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( hasPathTo(w) );

        vector<Edge<Weight>> vec;
        shortestPath(w, vec);
        for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){
            cout<<vec[i].v()<<" -> ";
            if( i == vec.size()-1 )
                cout<<vec[i].w()<<endl;
        }
    }
};

main.cpp:

// 测试我们的Dijkstra最短路径算法
int main() {

    string filename = "testG1.txt";
    int V = 5;

    SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, true);
    // Dijkstra最短路径算法同样适用于有向图
    //SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, false);
    ReadGraph<SparseGraph<int>, int> readGraph(g, filename);

    cout<<"Test Dijkstra:"<<endl<<endl;
    Dijkstra<SparseGraph<int>, int> dij(g,0);
    for( int i = 0 ; i < V ; i ++ ){
        if(dij.hasPathTo(i)){
            cout<<"Shortest Path to "<<i<<" : "<<dij.shortestPathTo(i)<<endl;
            dij.showPath(i);
        }
        else
            cout<<"No Path to "<<i<<endl;

        cout<<"----------"<<endl;
    }

    return 0;
}

负权边和Bellman-Ford算法

dijkstra算法不能处理负权边

• 拥有负权环的不存在最短路径

• 两边形成负权环

Bellman-Ford 单源最短路径算法

• 一个图不能有负权环
• bellman-ford可以判断图中是否有负权环
• 从一点到另外一点的最短路径，最多经过所有的V个顶线，有V-1条边
• 否则，存在顶点经过了两次，既存在负权环

松弛操作的核心是我们找到了一条边的路径，我们看一下有没有两条边的路径比他权值小。

• 对一个点的一次松弛操作，就是找到经过这个点的另外一条路径，多一条边，权值更小。
• 如果一个图没有负权环，从一点到另外一点的最短路径，最多经过所有的V个顶线，有V-1条边
• 对所有的点进行V-1次松弛操作
• 对所有的点进行V-1次松弛操作，理论上就找到了从源点到其他所有点的最短路径。
• 如果还可以继续松弛，所说原图中有负权环。

代码实现

// 使用BellmanFord算法求最短路径
template <typename Graph, typename Weight>
class BellmanFord{

private:
    Graph &G;                   // 图的引用
    int s;                      // 起始点
    Weight* distTo;             // distTo[i]存储从起始点s到i的最短路径长度
    vector<Edge<Weight>*> from; // from[i]记录最短路径中, 到达i点的边是哪一条
                                // 可以用来恢复整个最短路径
    bool hasNegativeCycle;      // 标记图中是否有负权环

    // 判断图中是否有负权环
    bool detectNegativeCycle(){

        for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
            typename Graph::adjIterator adj(G,i);
            for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() )
                if( from[e->v()] && distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()] )
                    return true;
        }

        return false;
    }

public:
    // 构造函数, 使用BellmanFord算法求最短路径
    BellmanFord(Graph &graph, int s):G(graph){

        this->s = s;
        distTo = new Weight[G.V()];
        // 初始化所有的节点s都不可达, 由from数组来表示
        for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ )
            from.push_back(NULL);

        // 设置distTo[s] = 0, 并且让from[s]不为NULL, 表示初始s节点可达且距离为0
        distTo[s] = Weight();
        from[s] = new Edge<Weight>(s, s, 0); // 这里我们from[s]的内容是new出来的, 注意要在析构函数里delete掉

        // Bellman-Ford的过程
        // 进行V-1次循环, 每一次循环求出从起点到其余所有点, 最多使用pass步可到达的最短距离
        for( int pass = 1 ; pass < G.V() ; pass ++ ){

            // 每次循环中对所有的边进行一遍松弛操作
            // 遍历所有边的方式是先遍历所有的顶点, 然后遍历和所有顶点相邻的所有边
            for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){
                // 使用我们实现的邻边迭代器遍历和所有顶点相邻的所有边
                typename Graph::adjIterator adj(G,i);
                for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() )
                    // 对于每一个边首先判断e->v()可达
                    // 之后看如果e->w()以前没有到达过， 显然我们可以更新distTo[e->w()]
                    // 或者e->w()以前虽然到达过, 但是通过这个e我们可以获得一个更短的距离, 即可以进行一次松弛操作, 我们也可以更新distTo[e->w()]
                    if( from[e->v()] && (!from[e->w()] || distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()]) ){
                        distTo[e->w()] = distTo[e->v()] + e->wt();
                        from[e->w()] = e;
                    }
            }
        }

        hasNegativeCycle = detectNegativeCycle();
    }

    // 析构函数
    ~BellmanFord(){

        delete[] distTo;
        delete from[s];
    }

    // 返回图中是否有负权环
    bool negativeCycle(){
        return hasNegativeCycle;
    }

    // 返回从s点到w点的最短路径长度
    Weight shortestPathTo( int w ){
        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( !hasNegativeCycle );
        assert( hasPathTo(w) );
        return distTo[w];
    }

    // 判断从s点到w点是否联通
    bool hasPathTo( int w ){
        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        return from[w] != NULL;
    }

    // 寻找从s到w的最短路径, 将整个路径经过的边存放在vec中
    void shortestPath( int w, vector<Edge<Weight>> &vec ){

        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( !hasNegativeCycle );
        assert( hasPathTo(w) );

        // 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中
        stack<Edge<Weight>*> s;
        Edge<Weight> *e = from[w];
        while( e->v() != this->s ){
            s.push(e);
            e = from[e->v()];
        }
        s.push(e);

        // 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径
        while( !s.empty() ){
            e = s.top();
            vec.push_back( *e );
            s.pop();
        }
    }

    // 打印出从s点到w点的路径
    void showPath(int w){

        assert( w >= 0 && w < G.V() );
        assert( !hasNegativeCycle );
        assert( hasPathTo(w) );

        vector<Edge<Weight>> vec;
        shortestPath(w, vec);
        for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){
            cout<<vec[i].v()<<" -> ";
            if( i == vec.size()-1 )
                cout<<vec[i].w()<<endl;
        }
    }
};

main.cpp:

// 测试Bellman-Ford算法
int main() {

    string filename = "testG2.txt";
    //string filename = "testG_negative_circle.txt";
    int V = 5;

    SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, true);
    ReadGraph<SparseGraph<int>, int> readGraph(g, filename);

    cout<<"Test Bellman-Ford:"<<endl<<endl;
    BellmanFord<SparseGraph<int>, int> bellmanFord(g,0);
    if( bellmanFord.negativeCycle() )
        cout<<"The graph contain negative cycle!"<<endl;
    else
        for( int i = 1 ; i < V ; i ++ ) {
            if (bellmanFord.hasPathTo(i)) {
                cout << "Shortest Path to " << i << " : " << bellmanFord.shortestPathTo(i) << endl;
                bellmanFord.showPath(i);
            }
            else
                cout << "No Path to " << i << endl;

            cout << "----------" << endl;
        }

    return 0;
}

用于有向图，因为无向图中一条负权边就等价于两个方向都有，会形成环。

更多和最短路径相关的问题

单源最短路径算法 具体实现改进

• 具体实现，distTo[i] 初始化为“正无穷”

  if( from[e->v()] && (!from[e->w()] || distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()]) ){
                        distTo[e->w()] = distTo[e->v()] + e->wt();
                        from[e->w()] = e;
                    }
  

• 利用队列数据结构

• queue-based bellman-ford算法

单源最短路径算法对比

所有对最短路径算法

• Floyed算法，处理无负权环的图
• O( V^3 )

最长路径算法

• 最长路径问题不能有正权环。
• 无权图的最长路径问题是指数级难度的。
• 对于有权图，不能使用Dijkstra求最长路径问题。
• 可以使用 Bellman-Ford算法。（取负操作）

---

-------------------------华丽的分割线--------------------

看完的朋友可以点个喜欢/关注，您的支持是对我最大的鼓励。

个人博客番茄技术小栈和掘金主页

想了解更多，欢迎关注我的微信公众号：番茄技术小栈