对于线性分组码，译码的复杂度随码长呈指数增加，传统的基于最大似然译码(MLD)准则的译码算法对于LDPC码这样的长码来说，是很困难的、或者说是不现实的。LDPC码的译码算法通常称之为置信传播算法(Belief Propagatiol Algorithm)，这是一种选代的概率译码方法，是LDPC码特征之一，也是其性能优越的原因之一。
硬判决位翻转译码
先介绍一种简单的LDPC码译码算法，由Gallager 在其论文中提出的被命名为 Gallager 硬判决的译码算法。这种算法仅适用于BSC信道，也称之为比特翻转算法(Bit Flipping Algorithm)，可看成是置信传播算法的简化形式。
设码字向量x经过 BSC 信道接收的硬判决值为z，s为伴随子向量，比特翻转(BF)算法可简单描述为:
- 首先计算方程s = z*(H的转置)，统计每位接收值y不足校验方程的个数。
- 找出不满足校验方程的个数最多的z，如不满足的个数大于某设定值，将其翻转，得到新的向量z‘。
- 判断条件:由量代z’计算方程s= z*(H的转置)，如s=0则正确译码输出。否则重复第1~3步，反复迭代，直到迭代至最大迭代次数。
具体的算法操作步骤如下：
步骤1：
步骤2：将接受序列z代入s = z*(H的转置)，若得出全为零的向量，停止，输出接收序列z，否则转下一步。
步骤3：通过f=sH来计算得出接收序列中每个码元不满足校验矩阵等式的个数，并找出最大的元素fi。
步骤4：反转fi对应的zi。
步骤5：将新得到的序列代替原来的序列，重新计算s = z(H的转置)，若伴随式为全0向量则停止译码成功；若伴随式为非全0向量，则判断是否达到最大迭代次数，达到则停止迭代，以最后一次的结果作为译码结果，否则转入步骤3。
小例子：
软判决位翻转译码
之前提到的位翻转译码算法是简单的硬判决方法，通过在译码时加上接收信号的可信度信息可以改进这个方法。
考虑均值为0，方差为N0/2的AWGN信道，计算出码元的对数似然函数为：
计算得出yi的最大值与最小值：
计算第l个码字位的度量标准：
其中各个元素的值可以通过下式得出：
其中s通过公式s = z*(H的转置)得出。
软判决译码算法的步骤如下：
步骤1：首先得出硬判决二元向量序列Z，计算出y序列，设置迭代计数为0以及最大迭代次数。
步骤2：计算伴随式s，如果s=0，则停止迭代，否则转入下一步。
步骤3：计算出每个信息为的Θ，找出最小的Θ。
步骤4：翻转最小的Θ对应的接收码字，标记第i次迭代时的信息元，则：
公式中的e为K维向量，在第i位为1，其余位为0。（这个公式就是翻转操作）
步骤5：将新得到的序列与原来的序列进行替换，若伴随式为全0向量，则译码成功；若伴随式为非全0向量，则判断是否达到最大迭代次数，是，则停止迭代，以最后一次结果为译码结果，否则转入步骤3。
软硬判决翻转译码算法的性能对比
