贪心（C++）

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贪心算法的定义：

贪心算法是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，只做出在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

解题的一般步骤是：

1.建立数学模型来描述问题；
2.把求解的问题分成若干个子问题；
3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解；
4.把子问题的局部最优解合成原来问题的一个解。

一.区间问题

AcWing 905. 区间选点

给定N个闭区间[ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。

输出选择的点的最小数量。

位于区间端点上的点也算作区间内。

输入格式
第一行包含整数N，表示区间数。

接下来N行，每行包含两个整数ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

数据范围
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109
输入样例：

输出样例：

在这里插入图片描述

证明

证明ans<=cnt ：cnt 是一种可行方案， ans是可行方案的最优解，也就是最小值。

证明ans>=cnt ： cnt可行方案是一个区间集合，区间从小到大排序，两两之间不相交。

所以覆盖每一个区间至少需要cnt个点。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Range
{
    
    
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const
    {
    
    
        return r < W.r;
    }
}range[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d%d", &range[i].l, &range[i].r);

    sort(range, range + n);
     ///遍历整个区间集合
    int res = 0, ed = -2e9;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        if (range[i].l > ed)
        {
    
    
            res ++ ;
            ed = range[i].r;
        }
//如果当前的这个点不能覆盖这个区间，就更新ed的值
//如果可以覆盖这个区间，就pass
    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

AcWing 908. 最大不相交区间数量

给定N个闭区间[ai,bi]，请你在数轴上选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）。

输出可选取区间的最大数量。

输入格式
第一行包含整数N，表示区间数。

接下来N行，每行包含两个整数ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式
输出一个整数，表示可选取区间的最大数量。

数据范围
1≤N≤10⁵,
−10⁹≤ai≤bi≤10⁹
输入样例：

输出样例：

1、将每个区间按右端点从小到大进行排序

2、从前往后枚举每个区间，初始选定end值为无穷小

若当前区间中包含该点end，则直接跳过
否则，选择当前区间的右端点

证明：

(1)找到cnt个点，满足题意情况，则最优解Ans <= cnt
(2)找到cnt个点，即找到cnt个区间，且区间从左到右依次排好，且没有相同的交集，则说明可能有区间没有被这cnt个点覆盖过，所以最优解Ans >= cnt
则Ans == cnt，证毕

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Range
{
    
    
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const
    {
    
    
        return r < W.r;// 使sort()按右端点升序排序
    }
}range[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d%d", &range[i].l, &range[i].r);

    sort(range, range + n);// 按右端点升序排序

    int res = 0, ed = -2e9;// ed为无穷小
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        if (ed < range[i].l)
        {
    
       // 找到一个无法由当前点覆盖的区间
            res ++ ; // 在数轴上放入新的点
            ed = range[i].r; // 更新数轴上点的个数
        }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

AcWing 906. 区间分组

给定N个闭区间[ai,bi]，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。

输出最小组数。

输入格式
第一行包含整数N，表示区间数。

接下来N行，每行包含两个整数ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式
输出一个整数，表示最小组数。

数据范围
1≤N≤10⁵,
−10⁹≤ai≤bi≤10⁹
输入样例：

输出样例：

从前往后枚举每个区间，判断此区间能否将其放到现有的组中

1.如果一个区间的左端点比最小组的右端点要小，ranges[i].l<=heap.top() ， 就开一个新组 heap.push(range[i].r);

2.如果一个区间的左端点比最小组的右端点要大，则放在该组， heap.pop(), heap.push(range[i].r);

每组去除右端点最小的区间，只保留一个右端点较大的区间，这样heap有多少区间，就有多少组。

步骤：

1.把所有区间按照左端点从小到大排序

2.从前往后枚举每个区间，判断此区间能否将其放到现有的组中

3.heap有多少区间，就有多少组


 1. priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;  // 小顶堆
 2. priority_queue<int, vector<int>, less<int> > q;     // 大顶堆

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Range
{
    
    
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const
    {
    
    
        return l < W.l;
    }
}range[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
    
    
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        range[i] = {
    
    l, r};
    }

    sort(range, range + n);

    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;//我们的小根堆始终保证所有组中的最小的右端点为根节点
    //用堆来存储组的右端点
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
    
    
        auto r = range[i];
        if (heap.empty() || heap.top() >= r.l) //如果当前队列为空，或者区间的端点小于小根堆的根（当前组的最小右端点）
        heap.push(r.r);//那么这个区间就是一个大佬，和所有组都有仇，自己单开一组
        else
        {
    
    
            heap.pop();//如果大于组当中的最小右端点，说明它至少肯定和这个组没有交集，没有交集那就把它归到这一组离
            heap.push(r.r);//既然大于我们小根堆的根，也就说明把它该归到小根堆根所代表的这一组，根就失去了作用
            //我们将跟去掉，用新的t.r来放入小根堆里，小根堆替我们自动找到所有组当中为所有组的最小右端点，并作为新根
        }
    }

    printf("%d\n", heap.size());//我们就是用size来表示的组的

    return 0;
}

AcWing 907. 区间覆盖

给定N个闭区间[ai,bi]以及一个线段区间[s,t]，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。

输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出-1。

输入格式
第一行包含两个整数s和t，表示给定线段区间的两个端点。

第二行包含整数N，表示给定区间数。

接下来N行，每行包含两个整数ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式
输出一个整数，表示所需最少区间数。

如果无解，则输出-1。

数据范围
1≤N≤10⁵,
−10⁹≤ai≤bi≤10⁹,
−10⁹≤s≤t≤10⁹
输入样例：

输出样例：

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Range
{
    
    
    int l, r;
    bool operator< (const Range &W)const
    {
    
    
        return l < W.l;
    }
}range[N];

int main()
{
    
    
    int st, ed;
    scanf("%d%d", &st, &ed);
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
    
    
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        range[i] = {
    
    l, r};
    }

    sort(range, range + n);

    int res = 0;
    bool success = false;//判断是否成功，初值为失败
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
    
    
        int j = i, r = -2e9;//如果每次不把r更新为-2e9的话，st和r相等，可能不会出现r<st的情况，如果无法覆盖的话，就会一直循环
        while (j < n && range[j].l <= st)//双指针算法来更新左端点小于st的线段中，能够到大的最远位置
        {
    
    
            r = max(r, range[j].r);
            j ++ ;
        }

        if (r < st)//当前右端点的最远位置不能到达下一线段的左端点，一定不能覆盖
        {
    
    
            res = -1;
            break;
        }

        res ++ ;
        if (r >= ed)
        {
    
    
            success = true;//只有从这个出口出去才被视作成功覆盖
            break;
        }

        st = r;//更新下一次的st，i
        i = j - 1;
    }

    if (!success) res = -1;
    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

二.Huffman树

AcWing 148. 合并果子
在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有3种果子，数目依次为1，2，9。

可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。

所以达达总共耗费体力=3+12=15。

可以证明15为最小的体力耗费值。

输入格式
输入包括两行，第一行是一个整数n，表示果子的种类数。

第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai是第i种果子的数目。

输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。

输入数据保证这个值小于231。

数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai≤20000
输入样例：

3 
1 2 9

输出样例：

**Huffman树：**给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

int main()
{
    
    
    int n;
    scanf("%d", &n);

    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    while (n -- )
    {
    
    
        int x;
        scanf("%d", &x);
        heap.push(x);
    }

    int res = 0;
    while (heap.size() > 1)
    {
    
     //取出最小的两个元素
        int a = heap.top(); heap.pop();
        int b = heap.top(); heap.pop();
        res += a + b;
        heap.push(a + b);//将它们的和入队
    }

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

三.排序不等式

AcWing 913.
排队打水

有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？

输入格式
第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 个人装满水桶所花费的时间 ti。

输出格式
输出一个整数，表示最小的等待时间之和。

数据范围
1≤n≤10⁵,
1≤ti≤10⁴
输入样例：

7
3 6 1 4 2 5 7

输出样例：

算法分析
安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小，则需要将打水时间最短的人先打水

证明：
在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int n;
int t[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &t[i]);

    sort(t, t + n);
    reverse(t, t + n);

    LL res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += t[i] * i;

    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}

四.绝对值不等式

AcWing 104. 货仓选址

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1~AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式
第一行输入整数N。

第二行N个整数A1~AN。

输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围
1≤N≤100000
输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

核心要点 — 分组
要点: 将第一个和最后一个结合，第二个和倒数第二个结合····

共分为两种情况：

奇数个商店，中位数
偶数个商店，中间两个之间

f(x) = |x[1]-x| + |x[2]-x| + |x[3]-x| + ... +|x[n]-x|
这是一个绝对值不等式
求这个函数的最小值


f(x) = (|x[1]-x| + |x[n]-x|) + (|x[2]-x| + |x[n-1]-x|) + ... //分组的思想

我们取出其中一组 |x[1]-x| + |x[n]-x|
就是在x[1]和x[n]所在直线上找出一点x，使得这一点到两端点的距离和最小
这样可以看出x取在x[1]和x[n]之间比较优
此时原式==x[n]-x[1] 

所以第一项的最小值就是( x[n]-x[1] ) 
所以第二项的最小值就是( x[n-1]-x[2] )
......


所以f(x) >= (x[n] + x[n-1] + x[n-2] + ... + x[mid]) - (x[1] + x[2] + x[3] + x[mid])


当且仅当x取到最中间的两个数之间的时候等号成立

也就是说，当x取到x[]序列的中位数的时候不等式取到最小值 

所以，对于这道题来说
我们首先把所有商店的坐标排个序
然后找出中位数即可
如果是奇数个商店，那中位数就是最中间的商店
如果是偶数个商店，那中位数在最中间的两个商店之间，
取这两个商店的任意一个都是答案（因为是整形嘛）

作者：Shadow
链接：https://www.acwing.com/solution/content/5744/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int q[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    sort(q, q + n);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += abs(q[i] - q[n / 2]);

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

五、推公式

AcWing 125. 耍杂技的牛
农民约翰的N头奶牛（编号为1…N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这N头奶牛中的每一头都有着自己的重量Wi以及自己的强壮程度Si。

一头牛只撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式
第一行输入整数N，表示奶牛数量。

接下来N行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第i行表示第i头牛的重量Wi以及它的强壮程度Si。

输出格式
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围
1≤N≤50000,
1≤Wi≤10,000,
1≤Si≤1,000,000,000

输入样例：

输出样例：

解题思路：
首先假设我们策略的答案是res，最优解的答案是cnt；
那么一定有 cnt<= res;
那么现在我们就需要去得到一种策略使得res <= cnt。那么我们的 res == cnt,也就的到了最终的答案。

假设我们用我们的策略已经对牛的顺序进行了安排（我们目前还不知道这个策略是什么）

解题过程：

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 50010;

int n;
PII cow[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
    
    
        int s, w;
        scanf("%d%d", &w, &s);
        cow[i] = {
    
    w + s, w};
    }

    sort(cow, cow + n);

    int res = -2e9, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
    
    
        int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
        res = max(res, sum - s);//风险 = 上面的重量-当前的承受
        sum += w;
    }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

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贪心算法的定义：

解题的一般步骤是：

一.区间问题

证明

二.Huffman树

三.排序不等式

四.绝对值不等式

五、推公式

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