错排问题【DP】

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ybtoj错排问题

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>解题思路

设$f_n$为长度为$n$的序列的合法排列数
对于第$n$个数，按照题意可以放在前面$n-1$中任意一个位置，设数$n$准备放在第$k$个位置
我们可以先排出$n-1$个数的合法情况，再把第$k$个数与第$n$个数交换（不能是插入，插入会影响后面的数的坐标，但是怎样交换都不会使序列不合法）
此时有两个情况：

1. 原本的第$k$个数放在第$n$位，剩下的数的合法排列为$f_{n-2}$
2. 原本的第$k$个数不放在第$n$位，剩下的数的合法排列为$f_{n-1}$

因此 $f_n=(n-1)\ast (f_{n-1}+f_{n-2})$

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>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

int n;
LL f[25];

int main()
{
    
    
	scanf ("%d", &n);
	f[2] = 1;
	for (int i = 3; i <= n; i++)
	  f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]);
	printf ("%lld", f[n]); 
	return 0;
}