第三章，矩阵，02-矩阵乘法

定义

规则1

行向量与列向量的乘法要求两个向量的元素个数相等。

规则2

行向量与列向量的乘法是用行向量的元素去乘列向量的对应元素然后相加求和。

规则3

向量与矩阵相乘后得到一个向量，不管哪个在前，需要满足前面的列与后面的行数相等。

规则4

两个矩阵相乘$AB=C$,所得$C$为矩阵，其元素$c_{ij}$为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列元素对应元素的乘积之和。

运算律

不满足交换律

满足

1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$
2. 左乘分配律：$A(B+C)=AB+AC$
3. 右乘分配律：$(B+C)A=BA+CA$
4. 数乘结合律：$k(AB)=(kA)B=A(kB)$，其中k是一个常数
5. 零矩阵与矩阵乘法
   (1)$AO=O$
   (2)$OA=O$
   (3)$AB=O$不一定有$A=O$或$B=O$
   (4)$A(B-C)=O$不一定有$B=C$，若$B-C=O$，一定有$B=C$
   (5)$AB=AC$，不一定有$B=C$，所以矩阵不满足消去律

方阵的幂

n阶方阵的幂：
设A是n阶方阵，当k为正整数时，A的幂运算规定为：
$$A^1=A,A^2=AA,...,A^{k+1}=A^{k}A,A^0=E$$
$A^k$是k个A的连乘，显然只有方阵才有幂。
满足：

可交换

或$AB=BA$，则称A与B是可交换的。
当A，B可交换时有：
$$\begin{gathered} (A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2 \\ (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \\ (AB{)}^2=A^2{B}^2 \end{gathered}$$

单位矩阵E

$E=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right)$主对角线元素为1,其它为0。
对单位矩阵E，容易验证
$$A_{m\times n}{E}_n=A_{m\times n}，E_m{A}_{m\times n}=A_{m\times n}$$
可见单位矩阵E有矩阵乘法中的运算作用类似于数的运算中“1”的作用。

纯量阵

称${\Lambda }_n=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda \end{array}\right)=\lambda E$为纯量阵。
由于纯量阵和矩阵A的乘法满足
${\Lambda }_{n}A=\lambda EA=\lambda A$
和
$A{\Lambda }_n=A\lambda E=\lambda AE=\lambda A$
故纯量阵与矩阵A是可交换的。