数字信号处理学习笔记[1] 离散信号 奇异信号 抽样定理

2 离散信号和抽样定理

2.1 离散信号

0. Q: 离散和抽样有何关系？抽样有什么样的“损失”亟待恢复？
   A: 离散信号可以直接测量得到，但大多数离散信号是由连续信号经过离散化（抽样）得到的。
   “损失”：连续到离散，无限长到有限长。
   我们希望可以由采样后的结果唯一无偏恢复原始连续信号。（但简明起见，我们先只考虑连续到离散这一部分的损失）
1. Q: 抽样会对周期函数的周期产生何影响？举例说明。
   A: 提示：（一般情况下）若抽样得到定义域为整数的信号，那么对于（最小正）周期为有理数的函数将可能导致结果最小正周期扩大整数倍。对于周期为无理数的函数将可能导致结果不再是离散周期函数。
   注：实际中对于有限时间内，有时可以用有理数近似无理数。
   注：由于定义域为整数，因此很多结论将和数论事实有关。例如两个离散周期信号的叠加的周期一般是两个周期的最小公倍数。
2. Q: 尝试用其它数学中的概念类比记忆“奇信号”“偶信号”“共轭对称信号”“共轭反对称信号”之间的联系。
   A: 举例：对称矩阵是转置后等于自身，厄米矩阵是共轭转置后等于自身。
   偶信号是“反向”后等于自身，共轭对称信号是共轭且“反向”后等于自身。

奇异信号

0. Q: 考察梳状函数$Comb(t/\Delta )={\sum }_{m=-\infty }^{+\infty }\delta (t/\Delta -m)$.
   其中狄拉克$\delta$函数（形式上）满足$\delta (t)=0,t\ne 0;\delta (t)=+\infty ,t=0;{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1$. 这是所谓的“奇异信号”。
   如何用它形式上表示采样？
   注：此处梳状函数指的不是$Comb(t/\Delta )=1,当t=n\Delta ;Comb(t/\Delta )=0,otherwise$，而是“奇异”的。
   A:
   $x_{\Delta }(t)=x(t)\cdot Comb(\frac{t}{\Delta })$就是采样结果。采样结果是奇异信号。
   注：每个采样点$x(n\Delta )$“附近的积分面积”是$\Delta x(n\Delta )$. 与之对比，梳状函数$Comb(x)$在所有整数点处奇异且“附近的积分面积”为1.
   注：$x_{\Delta }(n\Delta )$显然等于无穷（是奇异点），但$x(n\Delta )$是有限数。总之，奇异信号$x_{\Delta }(t)$和离散信号$x(n\Delta )$相对应（且后面还知道它们的频谱在一定范围内相等），但两符号的意义有区别！
   注：此处的外层系数$\Delta$乘除放在哪里有多种选择，都是合理且等价的（课本第三章第四节就有一些讨论）。此处我们在采样时不除以$\Delta$，使得奇异点附近积分面积在采样后是函数值的$\Delta$倍了（而不相等），但好处是出现了前述的“频谱相等”关系。
1. Q: 为什么我们在0.中想引入与离散信号$x(n\Delta )$在一定意义下等价（频谱相等）的奇异信号呢？
   A: 奇异信号可以当作连续信号处理，其遵守许多关于连续信号的运算规则。其实际上就是连续信号在某种意义下的极限。这样一来涉及离散信号的运算可以看成连续信号运算的特殊情况。（注：但是奇异信号也有一些特殊的处理规则和禁忌）
   言之成理即可。
2. Q: 0.中提到的$x_{\Delta }(t)$与$x(n\Delta )$的频谱有何关系？
   A: 我们在此考察$f\in [-1/2\Delta ,1/2\Delta ]$范围，根据离散信号频谱定义，$x(n\Delta )$的频谱为$X_1(f)=\Delta \sum x(n\Delta )e^{-i2\pi n\Delta f}$.
   另一方面，奇异信号$x_{\Delta }(t)=x(t)Comb(\frac{t}{\Delta })$的频谱$X_2(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_{\Delta }(t)e^{-i2\pi ft}dt=\Delta \sum x(n\Delta )e^{-i2\pi fn\Delta }$，就说明了$x_{\Delta }(t)$的频谱在考察范围内与$x(n\Delta )$相同。
   注：此处还有牛角尖可以钻：为什么定义离散信号频谱是$\Delta \sum x(n\Delta )\cdots$而不是$\sum x(n\Delta )\cdots$呢？这就是人为约定。在此约定下，由频谱积分得到$x(t)$时，没有系数。否则有系数。参考本篇2.3节。

2.2 连续信号的离散化，正弦波的抽样问题

0. Q:
   （根据课堂）本书本章反复强调的对边界情况的严谨更像是数学人做的理论，而不贴近工程实际。有兴趣的可以仔细了解这些细节。
   我们从实际应用起见，忽略临界情况。（之后都忽略）
   对于（单一频率）正弦波的抽样问题，当抽样间隔（）时，由离散信号$s(n\Delta )$的（）个点可以唯一确定正弦波（连续信号）$s(t)$，原因是已知$0<2\pi f\Delta <\pi$时，只要设法知道（）就能唯一确定$f$，之后再初等地确定（）即可。
   A:
   $\Delta <1/2f$（$1/2f$即正弦波半周期）（注意：本节说抽样间隔小于$1/2f$并不是说事先知道$f$值，只需要定剩余两个参数$A,\varphi$了。而是说我们知道待求的$f$不会超过$1/2\Delta$. 之后相关说法都作类似理解）
   3
   $cos(2\pi f\Delta )$（注：具体求$cos(2\pi f\Delta )$的方法是写出几个$s(k\Delta )$等的表达式，设法利用三角恒等变换，线性组合即可）
   $A,\varphi$
1. Q: 对于正弦波参数的估计，如果约束个数太多怎么办？
   A: 提示：实际工程中，为了减小误差，需要适当增加约束个数，使用最小二乘法等作估计。反而不应该恰好只用三个点。
   注：工程实际上，如果数据足够多，那么甚至还能还原出信号中附带的高斯噪声的$\sigma$等。
2. Q: 如何理解$f$和$f+\mu /\Delta ,\mu \in \mathbb{Z}$的联系？这容易说明如果抽样间隔$\Delta$大于正弦波的一个周期$1/f$时，（）。那又如何得出有关“半个周期”的结论呢？
   A: 频率变大$\mu /\Delta$时，每个抽样间隔$\Delta$恰好多走整数$\mu$个周期，因此在离散信号的序列上看不出区别。注意$\mu$可以是负整数。
   括号填：不能由离散信号唯一恢复出原始的正弦波（连续信号）。
   根据对称性：振幅不变，频率取相反数（再适当改变相位）可以得到不变的离散信号。因此$f$和$-f$可能得到相同的离散信号。综上，$\pm f+\mu /\Delta ,\mu \ne 0,\mu \in \mathbb{Z}$中只要任何一个频率值落在待考察频率范围$[0,f]$内，就将造成恢复不出唯一的正弦波。
   因此，唯一恢复要求$f<1/2\Delta$.

2.3 带限信号与奈奎斯特频率

0. Q: 带限信号展开成级数相比有限时间内信号展开成级数有何联系和区别？
   A: $X(f)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{d}_n{e}^{-i2\pi nf/L},d_n=\frac{1}{L}{\int }_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi nf/L}df$. 和之前有限时间内信号展开成级数相比，相差负号。
1. Q: $d_n$和$x(\cdot )$间建立联系$d_n=\frac{1}{L}x(\frac{n}{L})$的过程中，“带限”起到什么作用？如何记忆$\frac{1}{L}x(\frac{n}{L})$中的系数？
   A: 对于带限信号，傅里叶变换的逆向$x(t)=\int X(f)e^{i2\pi ft}df$的积分限只需要考虑有限区间$[f_0,f_0+L]$，该积分限与傅里叶展开的$d_n=\frac{1}{L}{\int }_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi nf/L}df$相同。
   提示：
   首先，$L$出现在括号内分母，反应了时域和频域“倒数”关系，即频域中图像“变宽”，时域中图像“变窄”。
   $L$趋向于正无穷时，傅里叶展开和傅里叶变换的关系类似于“黎曼和”与“定积分”的关系（对比$X(f)=\sum d_n{e}^{-i2\pi nf/L}$和$X(f)=\int x(t)e^{-i2\pi ft}dt$），这就不会忘记前面的系数$\frac{1}{L}$.
   记忆方式合理即可。
2. Q: 上两问和离散信号频谱定义式有何联系？
   A: $d_{n}L=x(n/L)$或说$d_n/\Delta =x(n\Delta )$
   离散信号频谱定义：$X(f)=\Delta \sum x(n\Delta )e^{-i2\pi nf\Delta }$正是由傅里叶展开启发而来。
   注：$x(n\Delta )=d_n/\Delta ={\int }_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi ft}df$前面无需系数，这与一般信号用频谱计算时域是一致的。
3. Q: 接上，默写对一般复信号的奈奎斯特抽样定理（只需写出其公式）。
   A: 还原出频谱：$X(f)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }\Delta x(n\Delta )e^{-i2\pi n\Delta f}$. 注：这里的$\Delta$也可以用$t_0$表示，这样$t_{0}f$和以前出现过的$f_{0}t$形式上对称。
   还原出连续信号：$x(t)={\int }_{f_0}^{f_0+L}X(f)e^{i2\pi ft}df$
   $={\int }_{f_0}^{f_0+L}{\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }\Delta x(n\Delta )e^{-i2\pi n\Delta f}{e}^{i2\pi ft}df$
   $=\Delta \sum x(n\Delta )\frac{e^{i2\pi (t-n\Delta )(f_0+L)}-e^{i2\pi (t-n\Delta )(f_0)}}{i2\pi (t-n\Delta )}$
4. Q: 实信号的振幅谱是（）（选填“偶函数”“奇函数”，后同），相位谱是（）。原因是什么？因此对带限实信号考虑上一问有何结论？（本篇之后都考察实信号）
   A: 偶函数，奇函数。
   这是“$x(t)$频谱$X(f)$则$\bar{x}(t)$频谱$\bar{X}(-f)$”的特例。
   $f_0$和$f_0+L$互为相反数，记为$-f_c,f_c$，其中$f_c$是截频。代入即得$x(t)=\Delta \sum x(n\Delta )\frac{sin(2\pi (t-n\Delta )f_c)}{\pi (t-n\Delta )}=\sum x(n\Delta )sinc(\frac{t}{\Delta }-n)$
   注：其中$sinc(x)=sin\pi x/\pi x$，$2f_c=L=1/\Delta$.
5. Q: “恢复出连续信号”的实际意义是什么？
   A: 在插值，超分辨率等时，有时需要直接恢复出连续信号。但在大多数时候，工程实践并不要求恢复出连续信号，而只是把“能恢复”当作一项理论保证，确保信号处理的合理性。
6. Q: 题4.结论和（离散）狄拉克$\delta$函数有何联系？（提示：利用$sinc$函数和狄拉克$\delta$函数在整数点的联系）
   A: 直接代入$t=n\Delta$，容易验证等式成立。
   注：$sinc$只看整数处取值就是离散的狄拉克$\delta$函数。

用卷积考察抽样定理

0. Q: 回忆梳状函数与采样的关系，并利用时域与频域的“乘积对应卷积”关系考察采样过程，写出采样结果的频谱。
   A: 回忆：$x_{\Delta }(t)=x(t)Comb(\frac{t}{\Delta })$就是采样结果。
   梳状函数$Comb(t/\Delta )$的频谱：
   由于$\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\Delta /2}^{\Delta /2}\sum \delta (t/\Delta -m)e^{-i2\pi nt/\Delta }dt=1$，得到$X_{Comb}(f)=\Delta Comb(\Delta f)$. （之后1.会对这个“得到”作进一步说明）
   时域相乘就是频域卷积，即采样结果$x_{\Delta }(t)$频谱为$X(f)\ast \Delta Comb(\Delta f)$.
1. Q: 0.中，频谱$X_{Comb}(f)$的奇异点处“附近积分面积”都是1，和0.中$\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\frac{\Delta }{2}}^{\frac{\Delta }{2}}\cdots$的积分结果1是对应的。注：此处频谱$X_{Comb}(f)$千万不要忘记乘以$\Delta$.
   即
   $\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\Delta /2}^{\Delta /2}x(t)e^{-i2\pi nt/\Delta }dt$的积分结果
   $=x(t)$傅里叶展开第$n$项系数
   $=$频谱$X(f)$作为奇异函数，在奇异点$n/\Delta$附近的积分面积
   解释上述等式。
   A: 第一个等号是傅里叶展开的定义。
   第二个等号本质是狄拉克$\delta$函数的筛选性质。奇异函数可以把（连续）积分（具体到本场景：傅里叶逆变换，由频谱求信号）转化为（离散）求和（此处即级数求和得到信号），求和的系数就是对应奇异点附近的（带符号）积分面积。
   注：常见的此类运算有：奇异函数与连续函数相乘作积分（如此处傅里叶逆变换），奇异函数和连续函数作卷积。
2. Q: 举例说明1.答案中提到的“奇异函数和连续函数作卷积”。
   A:
   例如：本篇2.3节题4.就得到过卷积$x(t)=\sum x(n\Delta )sinc(t/\Delta -n)$。该卷积关于$t$连续，但是对于$n\Delta$是离散地加和可数项。这可以看成一个一般（非奇异）连续信号和另一个奇异信号作连续卷积，是连续卷积的特例。
   又例如：离散卷积${\sum }_{m}x(m)y(n-m)$也可以看成一个连续信号和一个奇异信号作卷积，即离散卷积是连续卷积的特例。注：此处不要把两个离散信号都变成奇异信号，否则奇异乘奇异无意义。应该把一个变成一般的连续信号，另一个变成奇异信号。
3. Q: 课上把之前涉及的抽样定理称为“抽样定理1”，其表示采样间隔合理，能够恢复出连续信号的情况。利用0.的结果，说明为什么说采样间隔小于$1/2f_c$是“好”的。
   A: 提示：画图，发现当且仅当采样间隔$\Delta$小于$1/2f_c$时，$X(f)\ast \delta (\Delta f-m)$和$X(f)\ast \delta (\Delta f-m-1)$不发生混叠(aliasing).
4. Q: 如果已知采样间隔$\Delta <1/2f_c$，不发生混叠，那么对$X(f)\ast \Delta Comb(\Delta f)$再做一次低通滤波即可（）。结合（）和（）是傅里叶变换对，这就可以帮助解释为什么2.3题4.中，要和$sinc$做卷积。请更具体地做出此解释。
   A: 还原出$X(f)$，方波，$sinc$.
   $x_{\Delta }(t)$频谱限定在$[-f_c,f_c]$范围内是$X(f)$（就是原始的待还原的频谱），而$\frac{1}{\Delta }sinc(\frac{t}{\Delta })$频谱是$rec(\Delta f)$，其中$rec$表示仅在$[-1/2,1/2]$范围为1，其余区间为0.
   从而$x_{\Delta }(t)\ast \frac{1}{\Delta }sinc(\frac{t}{\Delta })$的频谱正是$X(f)$. 根据卷积定义，得$x_{\Delta }(t)\ast \frac{1}{\Delta }sinc(\frac{t}{\Delta })=\int \frac{x(s)}{\Delta }Comb(\frac{s}{\Delta })sinc(\frac{t-s}{\Delta })ds=\sum x(n\Delta )sinc(\frac{t}{\Delta }-n)$.
   注：这是1.和2.的一个实例。

2.4 离散信号的频谱和抽样定理

0. Q: 离散信号和周期信号有何联系？
   A: 提示：

• 思路1：回忆根据“筛选性质”，狄拉克$\delta$函数和1是傅里叶变换对，进而考察$\delta (t-t_0)$的频谱，进而考察$Comb(t/\Delta )$的频谱，进而考察$x(t)Comb(t/\Delta )$的频谱。最后利用奇异信号频谱和离散信号频谱的对应关系。
• 思路2：直接利用傅里叶正逆变换对称性。

无论哪种思路，得：周期信号的频谱是奇异函数（周期信号本身可以是普通的连续信号，或奇异信号，参见上一节题0.）。更具体地，由上一节题1.，傅里叶展开对应项系数就是奇异点下积分面积，即$d_n=\Delta x(n\Delta )$.
总结：周期信号和“与离散信号对应的奇异信号”是傅里叶变换对，而奇异信号与对应的离散信号（在考察范围内）频谱相同。

1. Q: （带限信号）在抽样间隔足够小时，抽样所得离散信号频谱在区间（）等于连续信号频谱。那不满足条件时会发生什么？（参考上节题3.）
   A: $[-1/2\Delta ,1/2\Delta ]$
   参考上节题3.发生混叠。当然在实际工程中，如果混叠程度足够小，就只是加了一层噪声，影响可以忍受。
   混叠也就是$X_{\Delta }(f)={\sum }_{m}X(f+m/\Delta )$.
2. Q: 用课本证明方法证明以上结论（称为抽样定理2，即一般的、可能混叠情况的抽样定理），步骤是
   考察$x(n\Delta )={\int }_{-\infty }^{+\infty }X(f)e^{i2\pi fn\Delta }df$. （再次注意：积分前没有系数）
   将无穷区间写成（）的无交并，于是上式写为（）。
   接下来怎么继续论证？
   A: 可数个有限区间，${\int }_{-1/2\Delta }^{1/2\Delta }{\sum }_{m}X(f+m/\Delta )e^{i2\pi fn\Delta }df$
   根据离散信号和其带限频谱的一一对应关系，得到间隔为$\Delta$的离散信号$x(n\Delta )$的频谱就是${\sum }_{m}X(f+m/\Delta )$（唯一）。