概率dp入门解题报告两则
刚接触概率dp，看过各位大佬的解题报告后不禁感慨，即便是最简单的dp和其他的一些小技巧结合起来也会变得难以理解（大概是我太蔡了吧…)。对着源码琢磨了数小时后终于获得了一些理解，下面和同学们讲解一下我对这两题的理解。
/ * 这是第一题 * /
POJ 2096 Collecting Bugs
题目大意：有一位程序员寻找bug，有n种bug存在于s个子系统中，问其集齐所有bug的期望。
解题思路：这题比较简单，根据题意写出状态转移方程即可。
总共有4种可能：在同一类，同一种；不在同一类，在同一种；在同一类，不在同一种；不在同一类，也不在同一种。
dp[i][j] = dp[i][j] * ( i / n) * ( j / s ) + dp[i+1][j] * ( ( n - i ) / n) * ( j / s ) + dp[i][j+1] * ( i / n ) * ( ( s - j ) / s ) + dp[i+1][j+1] * ( ( n - i ) / n ) * ( ( s - j ) / s ) +1;
化简得：
dp[i][j] = ( dp[i+1][j] * ( ( n - i ) * j ) + dp[i][j+1] * ( n * ( s - j ) )+ dp[i+1][j+1] * ( ( n - i ) * ( s - j ) ) + n * s )/(n * s - i * j);
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
double dp[1009][1009];
int main(){
int n,s;
while(cin>>n>>s){
dp[n][s]=0;
for(int i=n;i>=0;--i){
for(int j=s;j>=0;--j){
if(i==n&&j==s){
continue;
}
dp[i][j]=(dp[i+1][j]*((n-i)*j)+dp[i][j+1]*(i*(s-j))+dp[i+1][j+1]*((n-i)*(s-j))+n*s)/(n*s-i*j);
}
}
printf("%.4lf\n",dp[0][0]);
}
return 0;
}
/ * 这是第二题 * /
POJ 3071 Football
题目大意：有2 ^ n支足球队，通过锦标赛的模式竞选出冠军，有n组数据，每组数据有一个2 ^ n *2 ^ n 的矩阵来表示每队对上其他队的胜率，输出成为第一名概率最高的队伍。
解题思路：此题巧妙在位运算的表示，用(j>>(i-1))==(k>>(i-1)^1)来表示决胜的两队，此处的精妙我希望读者自己体会，一定会比我直接说出来更有价值（我也是这么过来的嘻）。
状态转移方程：dp[i][j]+=dp[i-1][j]*dp[i-1][k]*p[j][k];
p[j][k]表示j队战胜k队的概率；
dp[i-1][k]表示k队存活的可能；
dp[i-1][j]表示就队存活的可能。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 150
double dp[MAXN][MAXN], p[MAXN][MAXN];
int main(){
int n, num;
while(~scanf("%d", &n) && n!=-1)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
int num=1<<n;
for(int i=0;i<num;++i){
dp[0][i]=1;
}
for(int i=0;i<num;++i){
for(int j=0;j<num;++j){
scanf("%lf",&p[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=0;j<num;++j){
for(int k=0;k<num;++k){
if((j>>(i-1))==(k>>(i-1)^1)){
dp[i][j]+=dp[i-1][j]*dp[i-1][k]*p[j][k];
}
}
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<num;++i){
if(dp[n][i]>dp[n][ans]){
ans=i;
}
}
printf("%d\n",ans+1);
}
return 0;
}
总结：这两题虽然不难吧…也够刚涉及竞赛的同学喝一壶了（其实是我太蔡了…）希望能对大家有所帮助。