《2021王道》| 数据结构 | 选择题 | 第一章 | 时间复杂度

通用规则

加法规则：$$T(n)=T_1(n)+T_2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))$$
乘法规则：$$T(n)=T_1(n)\times T_2(n)=O(f(n))\times O(g(n))=O(f(n)\times g(n))$$

常用级数

• 收敛级数： $$T(n)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...=\frac{{\pi }^2}{6}=O(1)$$
• 调和级数： $$T(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=O(logn)$$
• 对数级数： $$T(n)=log1+log2+log3+...+logn=O(nlogn)$$
• 算术级数： $$T(n)=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}=O(n^2)$$
• 幂方级数： $$T(n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\sum _{k=0}^n{k}^2\approx {\int }_0^n{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{n}^3=O(n^3)$$
• 几何级数：$$T_2(n)=1+2+4+8+...+2^n=\sum _{k=0}^n{2}^k=2^{n+1}-1=O(2^{n+1})=O(2^n)$$

迭代程序

迭代程序通常使用 while 循环或 for 循环表示，两者可以等价互换，而 for 循环便于计算时间复杂度，所以遇到 while 循环时统一转换为 for 循环以计算。

1. 单层循环

解：设循环次数为 $t$，并且算法等价于 for (int i = 1; i <= n; i*=2)。当 $t=0$ 时，$i=1(2^0)$；当 $t=1$ 时，$i=2(2^1)$；当 $t=2$ 时，$i=4(2^2)$，以此类推可知循环次数 $t$ 满足 $2^t\le n$，因此时间复杂度为 $O(\log n)$

解：设循环次数为 $t$，并且算法等价于 for (int x = 2; x < n/2; x*=2)。当 $t=0$ 时，$x=1(2^1)$；当 $t=1$ 时，$x=4(2^2)$；当 $t=2$ 时，$i=8(2^3)$，以此类推可知循环次数 $t$ 满足 $2^{t+1}<n/2$，因此时间复杂度为 $O(\log n)$


解：设循环次数为 $t$，并且算法等价于

int i = 0;
for (int sum=0; sum < n; sum += i) {
    
    
	++i;
}

当 $t=0$ 时，$i=0$，$sum=0$；当 $t=1$ 时，$i=1$，$sum=0+1$；当 $t=2$ 时，$i=2$，$sum=0+1+2$，以此类推可知循环次数 $t$ 满足 $\sum i=\frac{t(t+1)}{2}<n$，因此时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$

解：设循环次数为 $t$，并且算法等价于 for (int i = 2; i*i*i ≤ n; i++)。当 $t=0$ 时，$i\ast i\ast i=2^3$；当 $t=1$ 时，$i\ast i\ast i=3^3$；当 $t=2$ 时，$i=4^3$，以此类推可知循环次数 $t$ 满足 $(t+2{)}^3\le n$，因此时间复杂度为 $O(\sqrt[3]{n})$

解：设循环次数为 $t$，并且算法等价于 for (int x = 0; (x+1)(x+1) ≤ n; x++)。当 $t=0$ 时，$(x+1)(x+1)=1$，即 $(t+1{)}^2$；当 $t=1$ 时，$(x+1)(x+1)=4$，即 $(t+1{)}^2$；当 $t=2$ 时，$(x+1)(x+1)=9$，即 $(t+1{)}^2$ ，以此类推可知循环次数 $t$ 满足 $(t+1{)}^2\le n$，因此时间复杂度为 $O(\sqrt[2]{n})$

2. 多层循环

循环变量无关：乘法规则

解：外层时间复杂度为 $O(\log n)$，内层时间复杂度 $O(n)$，乘法规则可得时间复杂度为 $O(n\log n)$。

循环变量相关：级数

解：冒泡排序最坏情况，则所有相邻元素逆序，最后一行语句每次都执行 $$T(n)=\sum _{i=2}^{n-1}\sum _{j=1}^{i-1}1=\sum _{i=2}^{n-1}i-1=\frac{(n-2)(n-1)}{2}=O(n^2)$$

解： $$T(n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{2i}1=\sum _{i=1}^{n}2i=2\sum _{i=1}^{n}i=n(n+1)=O(n^2)$$

递归程序

递归方程： 递归关系简单的方程，可借助递推关系归纳出 T(n)与T(n – 1)等的关系，不断用递推方程的右部替换左部，直至 T(1)

递归方程：$T(n)=T(n-1)+1$
递归基：$T(1)=O(1)$
求解：$T(n)=T(n-1)+1=T(n-2)+1+1=...=T(1)+n-1=O(n)$


递归方程：$T(n)=2T(n/2)+n$
递归基：$T(1)=O(1)$
求解：
$T(n)=2T(n/2)+n=2^{2}T(n/2^2)+2n=...=2^{{\log }_{2}n}T(1)+n{\log }_{2}n=n(\log n+1)=O(n\log n)$

递归树：递归式转换为一棵树，其结点表示不同层次的递归调用产生的代价，结点数量级即时间复杂度

解：本题精确计算方法是使用二阶常系数差分方程，但求解方法复杂，可使用递归树计算结点数量。