开头瞎扯
数列这玩意在竞赛中考的不少,可以变形一些式子,所以做一个小总结
如果题目中出现了一个数列的式子,将其化为通项公式有可能可以快速求解或者是便于题目变形并发现题目性质
解题套路
对于大部分情况来说可以将题目中给定的式子化为以下5种形式,再套用模板解题:
-
an+1=an+f(n)
-
an+1=f(n)·an
-
an+1=Aan+B
-
an+1=Aan+Ban−1
-
an+1=Aan+BCan+D
下面将给出解这五种模板的解题套路(跳过特征方程部分)
(这样以后做同类型的题目主要难度就在于如何转换成这5中模型了,后面给出转换的几种常用套路)
特征方程
特征方程蒟蒻也不是很懂,只懂得一个做题套路(常规全是套路),对于式子
an+1=Aan+Ban−1
设
an=qn
则原式等价于
qn+1=Aqn+Bqn−1⇔q2−Aq−B=0
(
←
貌似这个式子叫这个数列的特征方程)
解出该方程解
x1,x2
如果有两个不同解,得到两个符合递推式的式子:
an=xn1
与
an=xn2
考虑满足题意给定两项的式子形式一定为
an=Txn1+λxn2
,代入数据得
T
与
λ
即可
如果仅存在一个解,可以代入式子
an+1+λ=λ(an+λ)
求解
五种模板的解法
1 :
an+1=an+f(n)
an=a1+∑n−1i=1f(i)
后面的视情况求解
得解
2 :
an+1=f(n)·an
an=a1∏n−1i=1f(i)
后面的视情况求解
得解
3 :
an+1=Aan+B
设
an+1+λ=T(an+λ)
则解得
T=A,λ=BT−1
则有
an+1+BA−1=A(an+BA−1)
即
an=An−1(a1+BA−1)−BA−1
得解
4 :
an+1=Aan+Ban−1
①形似于3,设
an+1+λan=T(an+λan−1)
解得
T=A,λ=BA−1
即
an+1+BA−1an=A(an+BA−1an−1)
或者
②设
an=qn
(同上特征方程部分)
则原式等价于
qn+1=Aqn+Bqn−1⇔q2−Aq−B=0
解出该方程解
x1,x2
如果有两个不同解,得到两个符合递推式的式子:
an=xn1
与
an=xn2
考虑满足题意给定两项的式子形式一定为
an=Txn1+λxn2
,代入数据得
T
与
λ
即可
如果仅存在一个解,可以代入式子
an+1+λ=λ(an+λ)
求解
得解
5 :
an+1=Aan+BCan+D
先解出式子
an+1=Aan+B
的特征方程的解
x1,x2
有三种情况:
- #1——无实数解:这种数列无法用等比数列表示,存在周期性,可以写出前几项找规律
- #2——
x1≠x2
:列出两种方程,两者相除
- #3——
x1=x2
:无法如#2求解,用唯一解表示出来后上下翻转消元可得
为了帮助大家自己更好地理解,下面给出对应的例题:
#1
a1=2,an+1=an−1an+1
,求
an
解:
根据递推式发现数列以4为周期循环
#2
a1=4,an+1=3an+2an+4
,求
an
解:
根据特征方程将式子转化:
an+1−1=2(an−1)an+4
…………①
an+1+2=5(an+2)an+4
…………②
②①⇔an+1+2an+1−1=5(an+2)2(an−1)
则数列
{an+2an−1}
是以
q=52
为公比的数列
得
an+2an−1=2(52)n−1
可以解得
an
#3
a1=2,an+1=2an−4an+6
,求
an
解:
根据特征方程将式子转化:
an+1+2=4(an+2)an+6
发现两式分子形式相似,上下翻转
1an+1+2=an+64(an+2)=14+1an+2
即数列
{1an+2}
是以
d=14
为公差的数列
即
1an+1=n4
可以解得
an
转换常用套路
①
Sn=f(n)
Sn−1=f(n−1)
an=f(n)−f(n−1)
②换元,对于有根号的情况效果显著
③以后做到了再加进来……
对于以上解决不了的情况
后来又另写了篇博客介绍一种叫生成函数/母函数的工具
可以在更大范围内解决从递推式到通项公式的问题
这个工具可解决的式子包括但不限于:
-
an=Aan−1+Ban−2+C⋅Dn
-
an=Aan−1+Ban−2+(C+n)⋅Dn
-
an=Aan−1+Ban−2+C⋅sin(D⋅nπ)
- ……
结尾瞎扯
如果能在题目中使用到这些技巧,往往会更接近正解或将复杂度降低许多
目前还没有做到这样不能解的题,以后做到再补……