题目
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。
比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符号表示乘方的意思）
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序：
0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法
程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开
例如，输入：
5
则程序应该输出：
0 0 1 2
再例如，输入：
12
则程序应该输出：
0 2 2 2
再例如，输入：
773535
则程序应该输出：
1 1 267 838
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
分析
拿到一道算法题，如果没有更优的方法先想一种暴力的方法，暴力的方法也可以拿到一部分分，然后在想重复的情况从而进行优化
这道题的暴力的方法是枚举a,b,c,d范围都是根号n，时间复杂度大概是O(n^2)，题目中给出n的范围是1e6，所以最坏情况大概是1e12，一定会超时
优化可以从两方面入手
1.减少枚举范围
2.减少枚举的变量
1是行不通所以我们可以考虑减少枚举的变量
首先可以想到的就是省去d的枚举，可以用N-aa-bb-cc来表示d，最坏情况大概会减少到1e9，同样会超时
那就省去c和d，把n-aa-bb存储起来表示cc+dd，但是这时我们不知道c和d分别为多少，所以这个值一定要和c或d的值进行绑定，我们想到了哈希表，利用哈希表将cc+bb和c绑定，如果需要时直接将这个值减去cc再开方就得出了d
这时我们只需要枚举后两个元素，然后将所有的组合储存到map中，然后枚举a和b，在map中查找n-aa-bb，如果找到了将c直接赋值，在算出d，就找出了答案，这里循环要遵循字典序，找到的第一个符合答案的就是答案
完整ac代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int,int>cache;
int main (void)
{
int n;
cin>>n;
for(int c=0;c*c<=n/2;c++) //存储后两个数字的平方和
for(int d=c;d*d+c*c<=n;d++)
{
if(cache.find(c*c+d*d)==cache.end())
cache[c*c+d*d]=c;
}
for(int a=0;a*a<=n/4;a++) //循环遍历前两个数字
for(int b=a;a*a+b*b<=n/2;b++)
{
if(cache.find(n-a*a-b*b)!=cache.end())
{
int c=cache[n-a*a-b*b];
int d=sqrt(n-a*a-b*b-c*c);
printf("%d %d %d %d",a,b,c,d);
return 0;
}
}
return 0;
}
总结
循环的时间复杂度大概是O(n)map中的查找时间复杂度大概是O(logn)，所以这里的评测数据都可以通过。