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1. 问题描述
有一只跳蚤的家在数轴上的位置 x 处。请你帮助它从位置 0 出发，到达它的家。
跳蚤跳跃的规则如下：
- 它可以 往前 跳恰好
a个位置（即往右跳）。 - 它可以 往后 跳恰好
b个位置（即往左跳）。 - 它不能 连续 往后跳
2次。 - 它不能跳到任何
forbidden数组中的位置。
跳蚤可以往前跳 超过 它的家的位置，但是它 不能跳到负整数 的位置。
给你一个整数数组 forbidden ，其中 forbidden[i] 是跳蚤不能跳到的位置，同时给你整数 a， b 和 x ，请你返回跳蚤到家的最少跳跃次数。如果没有恰好到达 x 的可行方案，请你返回 -1 。
示例 1：
输入：forbidden = [14,4,18,1,15], a = 3, b = 15, x = 9 输出：3 解释：往前跳 3 次（0 -> 3 -> 6 -> 9），跳蚤就到家了。
示例 2：
输入：forbidden = [8,3,16,6,12,20], a = 15, b = 13, x = 11 输出：-1
示例 3：
输入：forbidden = [1,6,2,14,5,17,4], a = 16, b = 9, x = 7 输出：2 解释：往前跳一次（0 -> 16），然后往回跳一次（16 -> 7），跳蚤就到家了。
提示：
1 <= forbidden.length <= 10001 <= a, b, forbidden[i] <= 20000 <= x <= 2000forbidden中所有位置互不相同。- 位置
x不在forbidden中。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-jumps-to-reach-home
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2. 解题分析
既然是求最小步数，那自然就是广度优先搜索的地盘了。
在选择下一步行动（邻节点或子节点）时，需要考虑以下约束：
- (1) 目标位置不能为负数，但是正向方向不受限
- (2) 不能连续两次往后跳（即往左跳）
- (3) 不能跳到forbidden所包含的位置
- (4) 不必重复访问同一个位置
由以上条件(2)，在搜索过程中，必须记忆跳蚤上一次的跳跃方向，这个可以和位置信息一起存入栈。
由于需要频繁查询forbidden，而forbidden中所有位置均为不同，所以可以转换成集合类型，以方便查询。
2.1 搜索有边界
需要注意的是由于向前跳是不受限，理论上来说跳蚤可以一直跳下去。所以需要加一个约束条件，这个约束条件应该是当向前跳过某个足够远的地方后，跳蚤就肯定无法回家了。由此作为跳出循环的条件。
但是，这个条件是什么呢？题目没有明确给，必须根据题设条件去推导出一个合理的约束条件来。根据a、b的相对大小分两种情况来考虑.
case1: a >= b
由于有“不能连续两次往后跳”的条件，确保了每一次往后跳都至少伴随一次向前跳。
如果跳蚤已经跳到了超过x+b的位置的话，随后它最多能够往回跳b的距离，所以将永远回不了家。
case2: a < b
可以证明当 a < b时搜索的右边界为 。其中fmax代表最大的forbidden值。
证明参见后面附录。
结合case1和case2可以得到搜索的右边界就是。
2.2 防止无限循环
通常的图搜索中都需要将访问过的节点也加入到这个visited中，避免重复访问。
在本题中也需要这样做。复用forbidden，将访问过的点加入到forbidden。这样避免另外维护一个visited，可以节约内存。
但是，本题的一个要点是，只需要在向右移动时需要将移动后的位置加入已访问集合；但是向左移动时移动后的位置不需要加入已访问集合。换句话说，前进去过的地方就不必再去了，后退去过（但是还没有以前进的方式去过）的地方还可以再去。
这个insight是参考其他的题解的。不过我还没有十分理解。待想明白了如何解释再来回头补充。
3. 代码实现
from typing import List
from collections import deque
class Solution:
def minimumJumps(self, forbidden: List[int], a: int, b: int, x: int) -> int:
# Assumption: 0:forward jump, 1: backward jump
pos_max = max(max(forbidden)+a+b, x+b)
forbidden_s = set(forbidden)
q = deque([(-1,0,0)]) # (prev_operation,position,layer)
forbidden_s.add(0)
while len(q) > 0:
op,pos,layer = q.popleft()
# print(op,pos,layer)
if pos == x:
return layer
newpos = pos+a
if newpos not in forbidden_s and newpos <= pos_max:
q.append((0,newpos,layer+1))
forbidden_s.add(newpos)
newpos = pos-b
if op!=1 and newpos>=0 and newpos not in forbidden_s:
q.append((1,newpos,layer+1))
# forbidden_s.add(newpos)
return -1
if __name__ == "__main__":
sln = Solution()
forbidden = [14,4,18,1,15]
a = 3
b = 15
x = 9
print(sln.minimumJumps(forbidden, a, b, x))
forbidden = [8,3,16,6,12,20]
a = 15
b = 13
x = 11
print(sln.minimumJumps(forbidden, a, b, x))执行用时：64 ms, 在所有 Python3 提交中击败了82.32%的用户
内存消耗：15.3 MB, 在所有 Python3 提交中击败了91.92%的用户
4. case2的证明
以下证明来自力扣论坛（相当硬核。。。没有看太懂，摘抄于此留待以后慢慢消化）。
作者：newhar
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-jumps-to-reach-home/solution/dao-jia-de-zui-shao-tiao-yue-ci-shu-zui-duan-lu-zh/
来源：力扣（LeetCode）
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后续证明需要考虑一些细节问题，但意会后是很简单的：如果最优路径是出界的，可以调整前后跳的顺序让其不出界。（想象一条长绳子，起点和终点固定，嫌它太长所以把它折起来放）
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